数学公理化方法：案例研究与在初中数学教育中的应用

（一）公理化方法的含义

在一个数学系统中，教师应尽可能少地选取原始概念和不加证明的一组公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的法则，把该系统建立成一个演绎系统的方法，就是所谓的公理化方法。

（二）公理化方法的产生与发展

公理化方法起源于古希腊，是与用形式逻辑方法系统地整理几何知识的工作相联系的。数学公理以公元前3世纪几何学公理最早。在亚里士多德（前384—前322）的著作中已出现了公理化方法的论述，并且对数学与逻辑学的方法进行了初步的研究。

亚里士多德认为，科学体系的全部命题分为基本命题（公理）和由基本命题引申出来的命题（定理）。在命题中使用的全部概念也分为两类，一类是原始概念（基本概念），另一类是运用逻辑方法由基本概念直接或间接加以规定的概念——派生概念。这个逻辑结构可以概括为：

根据这种逻辑结构，亚里士多德提出了两个逻辑要求。

（1）公理必须是明显的，因而无须证明；原始概念必须是直接可以理解的，无须定义。

（2）在公理证明定理时，必须遵守逻辑规律和逻辑规则。

虽然《几何原本》为公理化方法的发展建立了不朽的丰碑，但是，人们发现了《几何原本》中的一些不足之处。《几何原本》的不足早为古代学者所发现，并一直努力在完善它。19世纪，俄国年轻的数学家巴切夫斯基从问题的反面考虑问题，给出一个新的公理体系（这就是去掉第五公设保留欧氏几何其余公理，再加进一个与第五公设相反的公理，即过平面上直线外的一点至少可以引两条直线与该直线不相交）。人们后来把一切不同于欧氏几何公理系统的几何系统称为“非欧氏几何”。

（三）公理化方法的基本内容

为了把某一门数学表达为演绎系统，需要选择一组基本概念和公理作为出发点，因此，如何选择一组基本概念和公理便是运用公理化方法的关键所在，这也是公理化方法的基本内容。

公理是对诸基本概念相互关系的规定。这些规定是合理的、不多不少的。也就是说，公理的选择应符合三个要求：相容性、独立性、完备性。

1.相容性

所谓相容性，即无矛盾性，就是从公理出发，无论推论到多远，不允许推出命题A和A同时成立。相容性是构成公理的一个基本要求。任何数学分支或理论体系都必须满足这个条件。例如，在平面几何中，命题“两条直线或者平行或者相交”是真命题，而在立体几何中这个命题就是假命题。这反映了平面内两条直线的位置关系与空间中两条直线位置关系内涵与外延的不同，不属于认识上的矛盾。

2.独立性(www.xing528.com)

所谓独立性这是要求在一个公理集合中，不允许出现多余公理，要求公理的数目减少到最低限度。因为多余的公理可作为定理推证出来，因此列为公理没有必要。

3.完备性

所谓完备性就是保证某一数学分支的全部命题都能从这一组公理推导出来，因此必要的公理不能少，否则就不完备。如果某个数学分支的公理数量不够、不具备完备性，会造成这个分支的一些真命题得不到理论的证明，或者造成一些命题的证明没有充足的理由。

（四）公理化方法的作用

从现代数学和自然科学与技术的发展来看，公理化方法有着重要的作用。

第一，公理化方法是整理数学知识为一个严格逻辑体系、建立数学逻辑基础的方法。首先，公理化方法作为整理材料，《几何原本》中的公理、皮亚诺自然数公理、20世纪初概率公理的建立、近代数学中群论的公理系统的建立，都充分显示了公理方法整理数学知识的功能。用公理方法建构的体系，条理清楚、简明扼要，命题之间有机联系，便于流传与推广。其次，形式化公理方法在数理逻辑的一个基本领域——元数学（证明论）中得到充分的研究与发展。目前，它是研究数学基础问题的一个十分重要和广泛使用的工具。最后，通过形式化公理方法建立的形式系统，对于计算机科学有重要意义，因为它提供的形式语言和算法构成了计算机科学的必要前提和逻辑基础。

第二，数学公理化方法是探索新知识，发展数学的一种方法。作为探索新知识的手段，常从一组假设的公理出发，由逻辑推理建立新的体系，看能否得出新的结果，若有新结果出现，则最终经实践检验而发展数学，甚至建立新的学科，从欧氏几何到非欧氏几何的发展，便是一个典型的例子。抽象代数的全部开拓工作，都是依靠公理化方法实现的。

第三，数学公理化方法对于其他自然科学技术部门给予实质性帮助，有着广泛的应用。首先，其他自然科学整理体系可以用公理化方法，如质点静力学就是如此。其次，通过形式化公理方程建立一个数学系统，这是将数学理论应用于自然科学或工程技术的一种重要方法。

（五）初中数学中的公理化方法

在初中数学中如何渗透公理化方法，已成为重要的研究议题。初中几何教材（平面几何和立体几何）的公理体系基本上类同于欧几里得公理体系，只不过从教学的角度考虑具体处理时有两个特点。

（1）初中几何公理体系是直接反映周围现实空间性质的，有着实际内容的公理体系。在这种逻辑与直观紧密结合的理解之下，几何中涉及的概念与定理在现实世界中有着生动的直观模型。现实世界的种种具体现象，为几何概念的引入与命题的论证提供了生动、直观的参考。

（2）初中几何公理体系为了避免篇幅浩繁，可以用不完善的公理方法来建立。例如，初中几何课本没有明确指出点、直线和平面的基本概念，而是通过直观描述引入这些概念。

初中几何公理体系满足相容性，但为了避免烦琐冗长的证明，采用了扩大公理的方法，所以不满足独立性与完备性。例如，在平面几何中，三角形全等的判定定理以公理的形式给出，实际上它们是不独立的。在立体几何中，垂线平行的传递性也是不独立的，但也是以公理的形式给出的。然而，元素之间的顺序关系，线的连续性仅凭直观加以默认，所以推理论证有时必须以图形的直观为前提，从教学角度看这是可行的，但教师必须对此有清晰的认识，推理论证不能过分依赖图形的特殊性，否则会犯“预期理由”的错误。

从数学教育现代化的观点来看，教师教给初中生公理化方法和思想，有利于学生理解数学理论的抽象性的本质和意义，对学生数学思维的发展将产生良好的影响。