数学抽象：数量与关系、图形与关系

抽象有两种含义，一种是作为形容词来解释的，通常形容偏离人们的具体经验和一般理解，比较空洞、不易琢磨，表示对象难以理解的程度，与“具体”相对。另一种是作为动词来解释的，是指从具体事物中抽出、概括出它们共同的方面、本质属性与关系等，而将非本质的方面、属性与关系舍弃的思维活动和思维过程。而本书研究的“抽象”则是后者，表示的是一个概括、分离和提取的过程。

数学抽象，就是从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念以及概念之间的关系，结合具体背景抽象出事物的一般规律和结构，并用数学语言恰当地予以表达。在这个概念的基础上，不同学者对数学抽象的方法分类以及过程归纳有不同的见解。

（一）强抽象

强抽象也叫“强化式抽象”，指的是通过加入新的特征或属性来强化原型的抽象，因此新的概念或理论就是原型的特例。相比于弱抽象，强抽象相当于演绎推理的过程，其遵循从一般到特殊的过程，通过强抽象得到的新对象内涵或结构更加丰富，外延缩小。同样，我们也能在数学的历史发展中寻觅到强抽象的例子。仍以函数概念的发展为例，19世纪初，波尔查诺对“连续性”进行了恰当的定义，并认识到连续与间断的区别，将这一概念与函数概念结合，就将“连续函数”作为一个特例从函数中分离出来了。之后在很长一段时间内，数学家们都认为除去若干个孤立点外，连续函数一定是可微的，直到魏尔斯特拉斯举出一个连续但是却处处不可微的经典例子，“可微函数”才得以从连续函数的概念中进一步分化出来。由此可以看出，强抽象的方法一般是，将通过映射或运算确定的新属性引入原型中，对原型进行强化，从而得到更特殊的概念或结构。

（二）弱抽象

徐利治在《数学抽象方法与抽象度分析法》一书中，把弱抽象称作“扩张式抽象”，即对原型中的某一特征或某一侧面进一步抽象，从而形成更一般的概念或理论，而原型便成为一般概念或原理的特例。因此，弱抽象遵循从特殊到一般的规律，相当于归纳推理的过程。一般来说，通过弱抽象得到的新数学对象，其概念的外延扩大，内涵减少。(www.xing528.com)

弱抽象在数学中应用广泛，一些重要概念的演变过程就是连续弱抽象的过程。例如，函数概念的发展过程，最初数学家把函数定义为“从其他的量经过代数运算得到的”，这显然是片面的，现在看来这个定义只适用于代数函数。后来，欧拉明确了函数的概念，即“一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式”。直到19世纪，函数才逐渐开始摆脱“解析表达式”这一说法，被狄利克雷重新定义，也就是现在最常用的函数概念的“对应说”。

总的来说，弱抽象的原型是一类内容较丰富、结构较完整的数学对象，通过对原型进行分析，从而提取出共同的本质特征，并进一步通过规范化的定义方法构造出更一般的新概念或新结构。

（三）数学抽象的基本过程

要培养学生数学抽象素养，首先要了解学生在学习过程中是怎样进行数学抽象的，这样才能将教学过程与学生的学习过程有机地结合起来。就数学的研究对象而言，数学的抽象经历了两个阶段：第一阶段的抽象是基于现实的，是把现实世界中与数学有关的东西抽象到数学内部；第二阶段的抽象是基于逻辑的，是数学内部的深入发展。简单来说，第一阶段的抽象是从现实到概念，第二阶段的抽象是从概念到关系。在不同的抽象阶段，教师应根据本阶段抽象的特点进行不同的教学设计。因为第一次抽象对于学生来说是新的东西，更不容易被理解和掌握。万事开头难，这个过程是进入数学的大门，教师应该精心组织和设计这个阶段的教学，为提高学生的数学抽象素养打好基础。

再具体一些，可以将数学抽象过程分为三个阶段或层次。一是简约阶段，即对事物的本质进行抽象，把复杂问题简单化，并能够条理清晰地表达；二是符号阶段，即去掉事物的具体内容，用符号和关系术语表述已经简约化的事物；三是普适阶段，即通过假设和推理，建立法则或者模型，在一般的意义上描述一类事物的特征或规律。这些层次的每一个层次之间都是相连的，后一个层次是建立在前一个层次的基础之上的。就一个具体数学概念的抽象过程，一般要经历“具体实例—共同特征—概念符号—性质关系”这一抽象过程。数学概念的学习是数学抽象的典型代表，数学抽象核心素养在数学概念的学习过程中体现得尤其明显。因此，教师应该重视数学概念的抽象过程的教学，帮助学生积累数学抽象经验，给学生更多独立思考、锻炼数学抽象能力的机会。