映射及点列的极限问题解析，压缩映射

例1 （2017年下初级中学）当 x→x0时，与 x-x0是等价无穷小的为（　）.

A.sin(x-x0)　B.ex-x0　C.(x-x0)2　D.ln|x-x0|

答案为A.

解析 该题考查无穷小量知识点.

可以利用无穷小量比值的极限值来判断两个无穷小量函数阶的关系.若 y→y0时，有 A（y）→0，B（y）→0，且，则称函数A（y）和B（y）为当 y→y0时的等价无穷小量.又，所以当x→x0⇒x-x0→0，即x-x0的等价无穷小量为 sin（x-x0）.

例2 （2018年下高级中学）极限的值是（　）.

A.0　B.　C.1　D.∞

答案为B.

解析 本题考查洛必达法则求极限知识点.当x→0时，（1-cosx）==0，故该极限为型的未定式，从而考虑使用洛必达法则来求该极限.

先对该极限中f（x）的分子分母分别求导然后再求出极限.

例3 （2016年下高级中学）极限的值是（　）.

A.0　B.1　C.e　D.2e

答案为D.

解析 本题考查两个重要极限知识点.

此极限的类型类似于两个重要极限中的，故解题思路是通过变形，将原式配成的形式进行求解.

因为

所以

例4 （2017上高级中学）若f（x）=k＞0，则下列表述正确的是（　）.

A.∀r ∈（0，k），∃ δ＞0，∀ x ∈（a-δ，a+δ），且x≠a，有f（x）＞r

B.∀r ∈（0，k），∀ δ＞0，∀ x ∈（a-δ，a+δ），且x≠a，有f（x）＞r

C.∀r ∈（0，k），∃ δ＞0，∀ x ∈（a-δ，a+δ），有f（x）＞r

D.∃r ∈（0，k），∀ δ＞0，∀ x ∈（a-δ，a+δ），有f（x）＞r

答案为A.

解析 该题考查函数极限的定义.

若f（x）=k＞0，则 对∀ε＞0，∃δ＞0，当0＜＜δ 时，有＜ε成立.不妨令ε=k-r，则有-（k-r）＜f（x）-k＜k-r.从而有对∀r ∈（0，k），∃ δ＞0，∀ x ∈（a-δ，a+δ），且 有f（x）＞r（x≠a），故选A.(www.xing528.com)

例5 （2014年上高级中学）证明=1（a＞0，a≠1）.

解析 本题考查极限的性质.

由题可知，需要对a的取值进行分类讨论：

当a=1时，显然有=1；

当a＞1时，记，可推出，由极限的迫敛性得=0，即；

当0＜a＜1时，记b=＞1，从而有=1，即，故=1.

综上，=1（a＞0，a≠1）恒成立，得证.

例6 （2016年上高级中学）极限的值是（　）.

A.e　B.1　C.　D.0

答案为A.

解析 本题考查两个重要极限知识点.

解法一：可以将原式配成形如来求解.

解法二：

解法三：

例7 （2019年上初、高级中学）设 R2为二维欧氏平面，F是 R2到 R2的映射，如果存在一个实数 ρ，0＜ρ＜1，使得对于任意的 P，Q∈R2，有d（F（P），F（Q））≤ρd（P，Q）（其中 d（P，Q）表示P，Q两点间的距离），则称F是压缩映射.

设 映射 T：R2→R2，T（（x，y））=，∀（x，y）∈R2.

（1）证明映射T是压缩映射.

（2）设 P0= P0（x0，y0）为 R2中任意一点，令 Pn= T（Pn-1），n=1，2，3，…，求.

解析 本题考查平面到平面的映射及点列的极限问题.

（1）在 R2中任意取两点 P（x1，y1），Q（x2，y2），有

取ρ=，则有0＜ρ＜1，满足 d（T（P），T（Q））≤ρ d（P，Q）.所以映射T是压缩映射，得证.

（2）由已知条件知

由问题（1）知

则有