SAS统计：独立性检验的意义及方法介绍

χ2检验还可以分析某一质量性状各个属性类别或等级资料各个等级的构成比与某一因素是否有关。例如对家畜进行某种疫苗的注射，看其疫苗的注射与某种疾病的防治有无关系，就可以通过实验组（注射疫苗）与对照组（不注射疫苗）家畜发病与不发病头数的资料进行独立性检验，从而作出相应的判断。若注射这种疫苗与该疾病的防治无关，则表明两类因子（注射与不注射）是相互独立的，即疫苗注射无效；若注射这种疫苗与该疾病的防治有关，则表明注射与不注射疫苗是相互关联的，即注射疫苗可防治该病。根据质量性状的各个属性或等级资料各个等级与某一因素的各个水平利用统计次数法得来的次数资料，判断某一质量性状的各个属性类别或等级资料各个等级的构成比与这一因素是否有关的假设检验称为独立性检验（Test for independence）。

某一因素的各个水平与某一质量性状的各个属性类别或等级资料的各个等级构成r 行、c列的列联表，简记为r×c 列联表。在r ×c 列联表中，通常将因素的各个水平作为横标目，将质量性状的各个属性类别或等级资料的各个等级作为纵标目，此时，列联表的行数为因素的水平、列联表的列数为质量性状的属性类别数或等级资料的等级数。

进行r×c 列联表独立性检验，假定某一质量性状各个属性类别或等级资料各个等级的构成比与某一因素无关计算理论次数，其自由度df=（r -1）（c -1）。这是因为进行r ×c 列联表的独立性检验时，共有rc 个理论次数，但受到以下条件的约束：①rc 个理论次数之和等于rc个实际次数之和；②r 个横行中的每一横行理论次数之和等于该行实际次数之和。由于r 个横行实际次数之和相加应等于rc 个实际次数之和，因而独立的行约束条件只有r -1 个；③与行约束条件类似，独立的列约束条件有c-1 个。(https://www.xing528.com)

所以进行r×c 列联表的独立性检验，自由度df=rc -1 -（r -1）-（c -1）=（r -1）（c -1），即r×c 列联表独立性检验的自由度df=（r-1）（c-1）。