解析几何中的最值与范围问题解析

圆锥曲线中的最值问题以及参变量的取值范围问题的求解：一是注意题中图形的几何特征，充分考虑图形的性质；二是运用函数思想，先根据条件列出所求目标函数关系式，求解最值或参变量的取值范围.这也正是几何法与代数法两种不同的处理方法.几何法常需扣住圆锥曲线的定义并和平面几何求有关结论或解三角形有关定理巧妙结合.代数法则常把有关问题转化为二次函数、高次函数或三角函数的最值或参数的取值范围问题，然后利用配方法、不等式法、判别式法、单调性法、导数法及三角法(利用三角函数的有界性)等解之.

一、例题精讲

例1　(2012年高考数学广东卷理科第20题)

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率且椭圆C上的点到Q(0，2)的距离的最大值为3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由.

解题策略　第(1)问，求椭圆C的方程就是求两个参数a，b，这需要两个等量关系.已知离心率给出了a、b的一个等量关系，而“椭圆C上的点到Q(0，2)的距离的最大值为3”又暗藏a、b的另一个等量关系，求两个基本量有两个条件足够了.第(2)问，求两个参数m，n也需要两个等量关系，第(1)问的结论给出了m，n的一个等量关系，而“△OAB的面积最大”时又暗藏m、n的另一个等量关系，暗藏的条件实质上是本题的隐含条件，挖掘隐含条件使之明朗是解答本题的关键，明确求两个参数需要两个等量关系就是本例的解题方向.在方程观点下的两问有结构上的相同之处.

解：(1)即椭圆C的方程可写为

设P(x，y)为椭圆C上任意给定的一点，

=x2+(y-2)2=-2(y+1)2+6+3b2≤6+3b2，y∈[-b，b].

由题设存在点P1满足|P1Q|=3，则9=≤6+3b2，∴b≥1.

当b≥1时，由于y=-1∈[-b，b]，此时取得最大值6+3b2.

∴6+3b2=9⟹b2=1，a2=3.

故所求椭圆C的方程为

(2)解法一　存在点M满足要求，使△OAB的面积最大.

假设直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，

则圆心O到l的距离

∵点于是0<m2≤3.

　①

①式等号成立当且仅当

因此当时等号成立.

∴满足要求的点恰有4个，其坐标分别为和此时对应的诸三角形的面积均达到最大值

解法二　假设点M(m，n)存在，则由(1)有

　①

图3-18

再由直线l：mx+ny=1与单位圆相交组成△OAB知，圆心到直线的距离

又

当即m2+n2=2　　②

时，△OAB的面积最大，最大值为如图3-18所示).

联立①②，解得即点M的坐标为时，△OAB的面积取最大值

图3-19

例2　(2017年高考数学浙江卷第21题)

如图3-19所示，已知抛物线x2=y，点抛物线上的点过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.

(1)求直线AP斜率的取值范围；

(2)求|PA||PQ|的最大值.

解题策略　本题主要考查动直线斜率的取值范围、直线与抛物线的位置关系中有关的最值问题.第(1)问，利用直线的斜率公式及x的取值范围即可求解，若转化为关于x的一元二次方程在内有实数解，则过程繁琐，读者自可比较优劣；第(2)问，先联立直线AP与BQ的方程，得出点Q的横坐标，并表示出|PA|、|PQ|，然后构造函数求|PA|·|PQ|的最大值，求最大值的方法可以是导数法，也可以运用均值不等式，本小题若结合向量知识求|PA|·|PQ|的关系式，则可以使解题过程变得简捷，结合平面几何知识则更是妙解，供读者赏析.

解：(1)解法一　设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为

由得关于x的一元二次方程

由题意可知，上述方程在区间内有实数解，则

解得-1<k<1.

故直线AP斜率的取值范围是(-1，1).

解法二　设直线AP的斜率为

直线AP斜率的取值范围是(-1，1).(www.xing528.com)

(2)解法一　联立直线AP与BQ的方程

解得点Q的横坐标是

∵

∴|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3.

令f(k)=-(k-1)(k+1)3，∵f′(k)=-(4k-2)(k+1)2，

∴f(k)在区间上单调递增，在区间上单调递减，

因此当时，|PA||PQ|取得最大值

解法二　设故

而|PA||PQ|

设下面求f(x)的最大值.

方法一：(导数法)当时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当时，f′(x)<0，f(x)单调递减.

∴当x=1时，f(x)取得最大值时

∴|PA|·|PQ|的最大值为

方法二：(均值不等式法)

当且仅当即x=1时取等号，∴|PA||PQ|的最大值为

方法三：(配方法)　f(x)

当且仅当x2-1=0，x-1=0得取等号，

∴|PA||PQ|的最大值为

图3-20

解法三　易得点Q在以AB为直径的图上，如图3-20所示，易知则半径

设AB的中点为联结CP与圆的交点为E、F，则由相交弦定理得

|PA||PQ|

以下同解法二.

解法四　点P(m，m2)，设直线AP的倾斜角为α，

则直线AP的参数方程为(t为参数).

以AB为直径的圆的方程为点A，Q是直线AP与圆的两个交点，把直线方程代入圆的方程，可得

整理可得，

设则

f′(m)=-(2m+1)2(m-1)，

∴f(m)在区间内单调递增，在区间内单调递减.

即|PA||PQ|的最大值为

二、发散训练

图3-21

如图3-21所示，P是抛物线上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.

(1)若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；

(2)若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围.