高中数学思想方法：配方法解决习题

小明参加学校的数学竞赛培训班，开始很顺利，可是最近遇到了一道让他十分纠结的习题：求所有k的值，使得关于x的方程2x2-2（k-5）x-3k+31=0的根皆为整数.

百思不得其解之后，按照老师的提示，他对配方法做了全面的学习，最后豁然开朗.

对于上述习题，你可以放手一试；如果不成，你可以研读一下本节的所有内容，或许会有意外收获.此题的答案在本节的最后.

在欧洲，从古埃及巴比伦时代直至中世纪，人们对一元二次方程的研究一直局限于几种比较特殊的形式.贵族们的聚会上，往往会出现关于一元二次方程的展示和比赛.在当时，谁能解出几个一元二次方程便是一种荣耀，甚至异国贵族之间的书信也经常有讨论一元二次方程的内容.这说明当时对数学问题的研究已经成了贵族之间秀智商和炫耀文化的资本.欧洲工业革命的成功，实际上也是爱智求真的底层文化促进社会发展的光辉结晶.

公元820年，阿拉伯的阿尔·花剌子模（al-Khwārizmi，783—850）出版了《代数学》一书.该书讨论了方程的解法，除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次用配方法给出了一元二次方程的一般解法；承认方程有两个根（承认无理根存在但却未认识到有虚根存在），即由一般式ax2+bx+c=0（a≠0）可以变成配方式，从而得到一元二次方程求根公式.

随着无理数不断地被认可，开平方方法和求根公式不断受到普通学者的肯定.法国的韦达（1540—1603）通过配方式直接开平方法求出方程的解：如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根.一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、实数、复数或是任意数域中适用.(www.xing528.com)

韦达对一元二次方程的求根公式进行了进一步研究，发现了一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）.

一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c∈R，a≠0）的两根x1和x2有如下关系：

配方法对二次函数的研究也有决定性作用：

配方法主要明确了二次函数的最值和对应抛物线的顶点坐标、对称轴（对称轴原理在现行初中课本里面没有给出明确的解释，只是从图象上去感知）.应注意的是，在二次项系数为1的标准状态下，对于配方后的结果，首先要配备一次项系数的一半，然后配平常数项.

时至今日，配方法的作用已经远远超出了原来的范畴.配方法一旦得以应用或者结合一下韦达定理，对很多数学问题往往会有意想不到的突破.