数学构造法：数学中的概念、方法及其应用

数学构造法是数学中的概念或方法按固定的方式经有限步骤能够定义或实现的方法.直觉主义学派的创始人布劳威尔（L.Brouwer，荷兰，1881—1966）提出一个著名的口号“存在必须被构造”.数学构造法经常被应用于构造概念、图形、公式、算法、方程、函数、反例、命题等.

例1 （构造算法）求两个正整数最大公因数的欧几里德辗转相除法.

辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》第Ⅶ卷中，而在中国则可以追溯至东汉时期出现的数学名著《九章算术》.两个正整数的最大公约数（也称公因数）是能够同时整除它们的最大的正整数.

给定两个正整数a和b，且a＞b.用b除a得到商q0，余数为r0，写成下式：

若r0=0，则a和b的最大公约数显然是b.

若r0≠0，用r0除b，得到商q1，余数r1，即

若r1=0，则r0除尽b，又a=q0b+r0，所以r0也除尽a.对于任何一个除尽a也除尽b的数q，仍由a=q0b+r0知，q也一定除尽r0，因此，r0是a和b的最大公约数.(www.xing528.com)

若r1≠0，用r1除r0，得到商q2，余数r2，即

若r2=0，则易知r1是b和r0的公约数，仍由a=q0b+r0知，r1是a和b的公约数.对于任何一个除尽a也除尽b的数q，再由a=q0b+r0知，q也一定除尽b和r0，又由b=q1r0+r1知，q也一定除尽r1，因此，r1是a和b的最大公约数.如此下去，就可以求出两个整数的最大公约数.

例2 （构造反例）魏尔斯特拉斯构造的处处连续处处不可导函数.

1872年，德国数学家魏尔斯特拉斯（K.Weierstrass，1815—1897）构造的处处连续处处不可导的函数的例子如下：

这个例子震动了数学界和思想界，有力地反驳了人们基于直观的普遍认识：连续函数除个别点外都是可导的，促使人们在微积分的研究中从依赖直观、直觉的判断转向依赖逻辑推理的严密理性思维，极大促进了微积分逻辑基础的构建.