【摘要】：康托尔继续思考能否有更大基数的无穷集合，即无穷能否有不可数之上的等级.经过十多年的努力，1891年，他终于成功地找到一种方法构造出基数更大的集合.我们知道，当集合A中有n个元素时，其子集个数为2n，子集个数大于n，这一结论推广到无穷时仍然成立.康托尔把集合A的一切子集组成的集合称为A的幂集，他证明了：对任何一个无穷集合A，A的幂集的势都大于A的势.设正整数集合N+的基数为，其幂集的基数为，康托尔还
从而无穷之间也存在差别，也有不同的层次.如此，康托尔制定的无穷大算术，对各种无穷大建立了一个完整序列，无穷集合自身又构成了一个无穷序列，这就是康托尔创立的超穷数理论.这样就可以建立一种算术理论，在其中有可能用基数进行加法和乘法，从而为逻辑学家和数学家们提供了一片广阔的用武之地.
例1 设集合S为有限集，证明康托尔定理：集合S的势必小于其幂集2S的势（一个集合的所有子集全体所成集合称为它的幂集）.
证明 记集合S的势为card（S）=n，S幂集2S的势为card（2S），S的一切子集的总数为
因为对任意非负整数n，成立n＜2n，因此，对有限集S，康托尔定理成立.(www.xing528.com)
由于康托尔的无穷学说从根本上否定了“整体大于部分”的观念，而且他在无穷王国走得如此远，以至于同时代的数学家和哲学家都不能理解他的观点.康托尔的工作最初遭到许多人的嘲笑与攻击.他的老师克罗内克完全否认康托尔的工作，称“康托尔走进了超穷数的地狱”，更有人讥讽超穷数理论纯粹为“雾中之雾”，种种打击导致康托尔精神分裂.经过20余年，康托尔的工作才最终获得世界公认，希尔伯特赞誉超穷数理论是“数学思想的最惊人的产物”和“这个时代所能夸耀的最巨大的工作”.
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