现在，我们将要讨论的向量都平移到同一起点O.前面已经了解了向量的线性运算，显然有限个向量通过线性运算，其结果仍然是一个向量.
定义1 对一组向量a1，a2，…，an和实数k1，k2，…，kn，称向量
为向量组a1，a2，…，an（以k1，k2，…，kn为系数）的线性组合，也称b可由向量组a1，a2，…，an（以系数k1，k2，…，kn）线性表示；若向量b只能由向量组a1，a2，…，an以唯一一组系数k1，k2，…，kn线性表示，则称b由向量组a1，a2，…，an（以k1，k2，…，kn为系数）唯一线性表示.
所谓线性表示，其目的就是要将第（n+1）个向量，与前n个向量建立起关系，如果这种关系是唯一的，那就是唯一线性表示.
图4-5
从而，有
这说明，平面中任意一个向量都可以由不共线的两个向量线性表示.并且由a，b的任意性，有下列结论.
命题3 平面中任意一个向量都可以由不共线的两个向量唯一线性表示.
在空间中也有类似的结果.设三个向量a，b，c有共同的起点O，终点分别为A，B，C.若A，B，C与O是四点共面的，则称a，b，c这三个向量是共面的.
若共面的三个向量也是共线的，那么其中的一个非零向量就可以表示其余两个向量.若共面的三个向量中有两个是不共线的，由上面的结果已经知道，平面中任意两个不共线的向量，都可以表示第三个向量.两种情况综合起来有下列结论.
命题4 三个向量是共面的等价于存在一个向量可以被其他两个向量表示.
图4-6
d=ka+lb+mc.
这说明，空间中任意一个向量都可以由不共面的三个向量线性表示.与平面的情形类似，显然这种表示方式也是唯一的，所以有下列结论.(www.xing528.com)
命题5 空间中任意一个向量都可以由不共面的三个向量唯一线性表示.
以上命题说明，在我们所处的三维空间当中，只要任取不共面的三个方向上的向量，那么空间中所有其他的向量，都可以由这三个向量进行相应的线性运算而生成.
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