解密星空角函数的分析介绍

在天文学研究中，距离这种信息相对于角是比较难获得的，同时这种信息显然也是非常重要的，所以我们很希望能够通过已知的距离推导出未知的距离，要做到这一点，角函数是一种非常有用的工具.

本讲主要讨论的角函数是正弦和余弦.下面借助单位圆来介绍一个角的正弦函数和余弦函数.在平面直角坐标系下（图5-3），已知单位圆的方程为

以原点O为顶点，以x轴正向为一边，沿顺时针方向作角α，则α的另一边必与单位圆交于一点，记为P.设点P的坐标为（x，y），则α的余弦值cosα，就是点P的横坐标x，α的正弦值sinα，就是点P的纵坐标y.由单位圆的方程知

图5-3

若假设图5-3中α为锐角，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，则三角形POQ为直角三角形，且有

任意以α为内角的直角三角形，都与直角三角形POQ相似，而相似三角形对应边的比值总是相等的.因此，在任意以α为内角的直角三角形中，α的正弦sinα等于α的对边与斜边的比值，所以有

同理，α的余弦cosα等于α的相邻直角边与斜边的比值，有

由角函数的定义，不难验证下面一系列公式：

借助以上转换公式，任意角的角函数都可以转化为某一个锐角的角函数，从而在一个直角三角形中得到体现，这也是为什么我们经常称角函数为三角函数的原因.

直角三角形中的边与角的关系，可以通过三角函数来描述.如图5-4所示，角A的正余弦满足

图5-4

那么一般三角形的边角关系，可否也通过三角函数来给出呢？答案是肯定的，下面将给出两个非常重要的定理，分别是余弦定理和正弦定理.

如图5-5所示，不妨设角C为锐角，利用边AC上的高将三角形ABC分解成两个直角三角形，再应用两次勾股定理可得

图5-5

同样，如图5-5所示，考虑三角形ABC的面积，易知

上式同除以abc并化简，得到正弦定理

接下来，给出两角和的正弦公式

以及两角和的余弦公式

在平面直角坐标系下，以原点O为圆心作单位圆，在单位圆中作线段，如图5-6所示，其中AB交OC于E，则有

图5-6

考虑图5-6中三角形的面积，

不难看出，要证明两角和的正弦公式，只要证明

这等价于证明

又等价于证明

由BD与AC都垂直于x轴知，

所以得证.

两角和的正弦公式和余弦公式是进一步得到其他三角函数公式的基础.如要得到半角公式，只需要联立(www.xing528.com)

就可得到半角公式