面积律的分析中并未涉及行星的运动规律，这表现在2.1节从（1）式开始的分析中并不需要对r（t），θ（t）给出具体的表达式，但是为了继续下去，进一步厘清（6）式中力的含义，就必须计算其中的表达式r″-rθ′2.
为此，必须同时使用椭圆律和面积律.这里如果对椭圆采用直角坐标中的标准方程
并不合适，因此改取太阳的位置为极点，极轴沿椭圆的长轴指向远离另一个焦点的方向，则椭圆可以用极坐标方程表达如下
将（7）式改写为
对t求导，得
再对t求导，得
利用（5）式，上式右边第二项与第四项之和为0，因此得
结合椭圆的极坐标方程（7）式，有
于是就单个行星来说，它在轨道上各点所受的力与距离平方成反比，但其中的比例常数由什么决定呢？这时周期律就起了不可替代的作用.
周期律的数学形式是
其中T为行星绕太阳的周期，a为行星绕太阳的椭圆轨道的半长轴，k在太阳系内为常数.
代入（9）式，得(www.xing528.com)
于是就证明了：在行星绕太阳的运动中，太阳对行星的作用力为向心力，其大小与距离的平方成反比，其中的系数与行星的质量成正比.这与我们已知的万有引力定律已经很接近了.
牛顿又用他最富有创造性的力学运动第三定律，即作用力与反作用力定律，得出结论：在太阳吸引行星的同时，行星也一定以大小相等的力吸引太阳，既然这个力与行星的质量m成正比，那么它也应当与太阳的质量M成正比.这样就得到了我们所熟悉的万有引力定律的数学形式
牛顿并不仅限于考虑太阳系中的行星运动，而是同时考虑上述的引力是否存在于一切物体之间，通过对“为什么吸引苹果落地的重力没有将月球吸引到地球，而是使月球绕地球旋转”这一事实的研究，以及其他一系列研究，他将天上和地上的运动规律统一了.这之后，哈雷彗星的回归预测以及海王星的发现进一步证实了牛顿理论的正确，可以说这一切得益于微积分这一数学语言的发明.
开普勒行星运动三定律、微积分和牛顿的力学运动定律，它们是牛顿发现万有引力定律的三个支柱，缺一不可.同时，万有引力定律的发现对它们也有反作用：①牛顿的力学定律在地面上很难直接验证，正是牛顿对天体运动的分析证实了这三个定律的重要性，并成为牛顿力学的基石.②微积分在这项工作中显示了巨大的威力，其中存在一些推导中的含混不清，这也促进了微积分的基础研究.并且，之后微积分的分析方法成为研究数学模型的主流方向.③由于万有引力定律的确立，反过来知道作为其出发点的开普勒行星运动三定律只是近似正确，使得人类对于包括行星运动在内的天体运动有了全新的认识.
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