收益率MODWT分析方法及应用

Percival and Walden(2000)认为最大重复小波变换(MODWT)可以看作离散小波变换(DWT)的一个改进版，MODWT 也是一类平稳小波变换.若MODWT 变换尺度j ＝1，2，…，J，其中J 为正整数，小波滤子为{h j，l|∑lh j，l ＝0，l＝0，1，…，L j}，{g J，l|∑lg J，l＝0，l＝0，1，…，L J}为J 级尺度虑子，L j＝(2j－1)(L－1)＋1表示j级虑子的宽度，则资产收益率{r t的MODWT 变换的j 级细节系数和J 级尺度系数分别为

由式(3.1)可知：W j，t提取了r t 在尺度τj＝2j－1上的突变特征，而V J，t量化了r t 在尺度τJ＋1 ＝2J 上的趋势特征。根据Lindsay 等(1996)定义的MODWT 逆变换，利用W j，t和{h j，l|l＝0，1，…，L j}及V J，t和{g J，l|l＝0，1，…，L J}分别重构第j 级细节子列和J 级趋势子列分别为

据此式(3.2)中S j，t和D j，t构成r t 的一个多尺度分析为

式(3.3)表明收益率r t 已按尺度分解成为一个趋势序列S j，t和J 个细节序列D j，t。如果r t 的物理采样周期为ΔT(本章表示1天，也即对应日收益率)，那么S J，t体现了r t 在物理尺度区间[0，2JΔT]的趋势特征；D j，t刻画了r t在物理尺度区间[2j－1ΔT，2jΔT]的突变特征。(https://www.xing528.com)

由此可见，r t 的MODWT 变换将资产收益率时序一次性地分解到逐层嵌套的细节空间，这个过程能够刻画收益率在不同尺度空间的局部特征，因此小波多尺度分析近乎完整地展示了资产价格波动的局部特征。在金融波动分析中，如果分解尺度足够大，则r t 完全可由D j 重构，也即资产收益率的波动特征完全可以由若干个物理尺度上的局部特征所解释。

图3.1显示的是上证综合指数从1996-12-31至2009-03-05间收益率的多尺度分析。其中，{P t}表示收盘价格的2 938个日观测值，{R t}是由{P t}的一阶对数差分计算得到2 937个日收益率。Percival等(2000)指出LA(8)小波能消除频域中相位平移现象，随后LA(8)小波已被Fernandez(2006)，Conlon等(2008)，许启发等(2007)及Peng等(2009)用于金融分析，因此选用LA(8)对{R t}的5级分解为R t＝S 1＋D 1＋D 2＋D 3＋D 4＋D 5。

在图3.1中，(c)展示了日收益率的MODWT 小波多尺度分解的趋势成分；(d)～(h)分别显示了日收益率的小波细节成分。

图3.1　上证指数收盘点数及其收益率多尺度分析

按照Fernandez(2006)对时间尺度的解释：S 1表示投资期限在16～32天(相当于0.5～1个月)的投资者对日收益率贡献的趋势成分；D 1对应于投资期限在16～32天内的细节成分；类似地，D 2～D 5分别对应投资期限8～16天，4～8天，2～4天，1～2天等细节成分。我们清楚地看到，指数收益率在各个时间尺度上的波动特征，既存在相同的模态，同时又存在局部的差异。