数学解题策略选择、关注要点和技术

一、数学解题策略选择、制定中的关注要点分析

策略原则对于解题策略的选择、制定具有指导作用，掌握这些原则，将有利于解题策略的选择和制定。此外，解题策略的选择、制定还与多方面的因素有关。本部分将讨论这一问题，进一步明确解题策略选择、制定中的关注要点。

（一）选择、制定解题策略的重要因素

（1）观察是选择、制定解题策略的出发点。观察是认识世界的主要途径之一，是科学研究常用的重要手段。观察是思维的起点，是选择、制定解题策略的出发点，是解题的基础。

通过对题设和结论的数学特征、图形特征、结构特征进行全方位的认真观察和分析，明确解题目的，挖掘出隐含条件，找出条件之间的联系，探求出解题方向，从而制定相应的策略，这对解题来说，是十分重要的。

观察不应该是消极的、被动的，而应该是积极的，要通过观察寻找各种特征、各种联系。不仅在审题时要注意观察，在解题的转化以及探求过程中也要不断地注意观察，做出相应的策略。总之，观察是为了发现和理解，发现和理解则是为了行动。^[3]

（2）逻辑是选择、制定策略的有力工具。逻辑学是研究人类正确思维的初步规律和形式的科学，数学的思维方法是逻辑的具体运用。在解答数学题时，不但要善于观察，了解有关的数学知识，更需要运用逻辑来进行判断和推理、分析和归纳。逻辑是思维的工具，是制定解题策略的工具。要制定正确的解题策略，必须掌握正确的逻辑思维方法，否则便会出现逻辑错误。

有些逻辑思维形式和逻辑思维方法（如类比、归纳、综合、分析、论证等）在解题中起的作用简直就像策略一样。如分析法，从结论出发，执果寻因，一直追溯到已知为止，体现了从后向前推的解题策略。

要提高解题策略的选择、制定水平，逻辑思维不仅外在形式要正确，而且还要使形式与内容达到一致，这种有内容的逻辑就是辩证逻辑。

辩证逻辑要求从整体、联系、转化和矛盾发展中把握思维过程和思维对象。只有这样，才谈得上使思维形式和内容一致。

如一般的平面几何问题是研究静止的图形，但如果从运动的观点来确定，用初等几何变换的方法来谈论，就是应用内容和形式一致的辩证逻辑方法。使用内容和形式一致的辩证逻辑方法能得出较高水平的解题策略。

总而言之，不按照普通逻辑的思维定是错误的，不遵照辩证逻辑，对于事物的认识就较为肤浅。普通逻辑和辩证逻辑均为制定方案的工具，但二者相比普通逻辑的作用更大。

（3）制定策略必须依靠数学知识储备。数学解题需要调动现有的知识储备来解决问题，从而获取新的知识。如果对数学知识不了解，就无法解题。此外，策略的制定必须依靠数学知识，如果不懂数学知识，是无法制定解题策略的。

一个人的数学知识越丰富，见识越广，经验就越丰富，就越善于制定解题策略。如对同一道较为复杂的平面几何题，若只了解初中数学的知识，便只能按初中几何介绍的综合法制定解题策略。学习了高中数学知识后，除初中介绍的方法外，还可用解析法、三角法、向量法、复数法等制定各种解题策略，从中选取最佳方案。又如函数极值问题，按初等数学的方法计算较为繁杂，而按高等数学的方法计算便简单得多。

可见，拥有越丰富的数学知识，对于知识的联想能力就会越强，也会更容易想到解题方法。如果数学知识匮乏，那么就会增加解题策略研究的难度。

（4）实践经验以及其他学科的知识是制定策略的丰富源泉。实践是认识的基础，认识产生于实践的需要。数学是在实践中产生的，实践的发展也是数学发展的直接动力。

远古时代，人们在实践中学会用石块的累计来表示收藏的猎物，在实践中产生了数，并总结出了计算的方法。在古埃及，由于尼罗河水泛滥，两岸田亩地界被淹没，每年雨季以后都要重新划分土地并修复土地界限，在实践中积累了大量几何学的知识，并总结出将多边形分成若干三角形来计算面积，也总结出把较复杂的问题分成几个小问题来计算的解题策略。

科学技术的发展推动了数学的发展，而数学的发展、进步又促进了各门科学的进步。随着数学的发展，数学知识的增加，数学解题策略也不断完善。其他学科的知识也为数学解题策略提供了有效的方法，如在运筹学中利用力学模拟的方法解决场地选择问题，利用模拟物质运动来解决高等数学问题等。随着电子计算机的发展、普及和广泛的应用，一方面解决了许多数学难题，提供了一些数学解题策略，另一方面又对解题策略提出了新的、更高水平的要求。

因此，人们在长期的实践活动中积累的经验以及其他学科的知识，都是制定数学解题策略的丰富源泉。

综上所述，认真、全面的观察分析，丰富的数学知识和实践经验，正确的逻辑方法都是制定解题策略的重要因素。

（二）选择、制定解题策略的根本途径

唯物辩证法认为，质量互变规律、对立统一规律和否定之否定规律是支配自然、社会和人类思维最一般的规律。数学的思维方法当然也遵循这些规律。对数学对象的矛盾双方的相互联系和相互制约的关系进行辩证认知，是选择、制定解题策略的根本途径。

（1）根据问题的特殊性和一般性的对立统一关系制定解题策略。数学推理中常用的演绎，是由一般到特殊的推理，而归纳是由特殊到一般的推理。归纳和演绎都是制定解题策略的重要途径，而根据数学本身的特点产生的数学归纳法原理更是制定解题策略的重要方法。

根据一般和特殊的辩证法，常采用一种“极端性原则”的解题策略，把复杂的问题退到保持规律的特殊情况和极端情况，通过在这种情况下对问题的分析，再由共性和个性联系发现解题的规律和方法。

（2）解题策略要根据问题因果关系的对立统一进行制定。原因和结果反映事物之间的相互关系，因果关系和规律是普遍存在于事物之中的。认识世界和改造世界首先必须对因果关系有正确的认知。

通过认识，分析数学问题的原因和结果的辩证性，找出其联系和规律，从研究因果互相转化的条件，找出它们过渡的“桥梁”，把题设和结论联系起来，从而制定解题策略。(https://www.xing528.com)

联系数学问题的因果关系常用综合法和分析法。综合法是由命题的假设入手，由因导果，通过一系列的正确推理，逐步靠近目标，最终证出结论。分析法则由命题的结论入手，执果索因，寻求在什么情况下结论才是正确的，一步步逆而推之，直到与假设会合。

在实际解题过程中会遇到不论用综合法还是用分析法都难以找出因果关系，需要在两者之间架桥，通过因果之间的辩证关系制定解题策略的情况。

（3）制定解题策略要依据现象和本质之间的辩证关系。现象是事物的外在表现，可直接观察到，本质指的是事物的内在特征，是事物内部的联系。现象和本质是对立统一的。透过现象认识事物的本质是认识的直接任务。

通过对数学问题进行深入考察分析，分清现象和本质，经过“去粗取精，去伪存真，由此及彼，由表及里”的认识深化，将显示问题表面特征的条件转化为一系列能体现问题本质属性的相互独立的基本要素或关系，找到了基本的量的关系，以这些本质属性来制定解题策略。

（4）根据问题的抽象和具体的辩证性制定解题策略。把抽象的数学问题同相应的感性经验材料联系起来，建立具体的数学模型，通过对数学模型的分析，研究、制定出相应的解题策略。

（5）认识数学问题之间普遍联系的特点，用可变的观点选择、制定解题策略。认识数学问题之间普遍联系的特点，用可变的观点选择和制定解题策略，以便充分地利用已有的知识和经验达到解题目的，这也是利用遵循和谐化原则的结果。

综上所述，根据唯物辩证法的基本原理，根据问题的特殊性和一般性、原因和结果、现象和本质、抽象和具体的对立统一关系及问题之间联系的广泛性和可变性来选择、制定解题策略，是制定解题策略的重要途径。

二、数学解题策略选择、制定的技术摘要研究

一道标准的数学问题或常见的数学问题，求解策略是较容易选择或制定的。一道综合数学问题或一道非标准的数学问题，要求独立思考、见解独到地来解答，就要选择或制定完善的解题策略。对于这样的问题解题策略的选择、制定如同创造发明一样，也有其技术摘要。关于数学解题策略的选择、制定技术摘要的研究，国内外专家中比较系统的提法应首先归功于波利亚的著名的“怎样解题”表。“怎样解题”表中的前两部分，实质上也是解题策略选择、制定的技术摘要的通俗表达。

数学解题思路探索的试悟式与顿悟式的两种程式中，这些技术摘要发挥着极为重要的作用。下面从三个时刻，简述十点技术摘要^[4]。

1.界定问题、聚焦酝酿的定向时刻。界定问题就是弄清问题。这就是“怎样解题”表的第一部分。在这个时刻，注意抓住三“点”：

（1）集中焦点。集中注意力审题，分析题意，挖掘隐含条件，甚至把问题细分，获得对问题的深入了解。这样就如利用放大镜的聚焦一样，把均匀分散洒落在地球表面的阳光汇聚起来，其能量会燃起解决问题之火。

（2）把握要点。采用多种不同的形式对解题目标进行描述，把用于描述的词语进行整合，然后进行筛选，将最有代表性的词语挑选出来。在此基础上，重新写一个新的、更加准确的描述，突出重点，就能针对问题做清晰而简短的把握问题中心的陈述。

（3）扩展重点。列出问题解决的各项标准（或规则、依据）和目标（试想在一些必须克服的困难以后，列出的标准和目标）加以扩展，然后把联想到的新想法和构思写下来。在对重点进行扩展时，可以帮助学生克服自身的局限性，跨越限制、发散思维进行更加广泛地思考。思维开阔后，反而可以解决内心的困惑，产生新见解。

2.开放思考、统整明朗的控制时刻。开放思考是解决问题的第一部分，统整明朗是制定计划的第二部分。在这一部分要重点关注四“想”：

（1）提示思想。联想类似问题的解题策略，并刻意地从处于不同环境、不同形式、不同内容的题型中发掘相似因素，吸收其中有益的成分以激发自己的构想。

（2）列举奇想。如果有比较奇特的想法也可以列举出来，用它来“抛砖引玉”，激发更合理的解决办法。

（3）自由幻想。强制找出“在逻辑上与你的问题无关的事物”和“你的问题”之间的联系，用以激发新构想。例如，画一个图，或构造一个模型，并详细地列出其特征，利用这些特征激发学生对问题解决的新构想。

利用这种强制的方法，有利于人们打破常规思维，从而发现事物之间新的联系。在制定策略时，若随意选择对象，将它与某事物强制性地联系在一起，是不会成功的。此时要把条件和结果强制性地相结合，或通过某种不明显的迹象把他们结合在一起，就有可能有新发现，最后把它们都融合在一起，转换思维方式，可能会有不同结果。

（4）综合妙想。思考问题要全面，将所有的构想都结合起来，进行逻辑的组合、融合得到新想法或新构想。

3.辨认最佳策略，激励验证的执行调节时刻。这个时刻指的是制定策略的最佳时间，此时要决定“三重构想”：

（1）统整构想。对既定目标或准则再次进行检查，然后根据自己的感觉选择最合理的构想。

（2）强化构想。对自己的构想进行反思，对于其中的缺点，将其列举，想办法解决这些缺点，然后根据结果进行修改，把缺点降到最低。强化构想的过程可以避免学生的一些不成熟想法，让学生自己意识到构想的优劣，对自己的构想有更加清晰的认识，及时进行修正，使构想更完善。

（3）激励构想。试着夸大策略可能产生的最好和最坏的后果，修改构想，以减少最坏结果及增加最好结果。这时是一个策略制定的最后时刻，需要决定是投下最大的努力去实现构想或做放弃的决定。

上面简略地论述了一个解题策略选择或制定中的技术摘要。在选择或制定一道非标准的问题的解题策略时，有时需反复运用上述技术摘要，才会获得一个完善的策略。当然，对于不同的解题者或不同的题，其解题策略选择或制定的技术摘要也是变化的。