小学数学有效教学:智慧在实践中产生

俗话说：心灵手巧。事实上，反过来说，手巧促进心灵。学生亲手做过才会印象深刻，在实践、操作、动手中习得知识、建立表象，而且可以增进劳动技能。

一个普普通通的教具，能带动课堂一个又一个的高潮。《小数的意义》中正方形的纸片，《长方形的面积计算》里一个小小的信封，《平行四边形和梯形》里的框架和纸片，《体积和体积单位》中的各种实物、土坑等。小小的教具和学具凭借独具匠心的设计，能够在操作中带动学生一次又一次思维的跳跃，带给孩子们一个又一个的惊喜，冲击孩子们思维的火花，让孩子在操作和直观中领略数学思维的奥妙。

学习“轴对称图形”时，我找了剪纸社团的老师带领孩子们一块剪窗花，尤其是存在轴对称的图形。从“双喜”字到“福”字，各种花鸟虫鱼、图形图案，再到和北京冬奥会相结合的运动项目和卡通形象，让孩子们在动手中切实体会到“完全重合”，体会到“对称轴”所在的直线，并感悟到我国传统文化的源远流长。结合冬奥会的举办也激发了强烈的民族自豪感，学生在轻松愉快的操作中习得知识、增进感知、获得基本的数学活动经验，发展了空间观念。

但是，学生对于某些图形到底有几条对称轴、有些图形到底是不是轴对称图形还有些不清楚，这时候，让孩子们动手操作、亲身体验，能够很清楚地厘清相关问题的来龙去脉，在对比中获得明确的感知和体验，进而掌握图形的对称特征。

因为在三年级时学生认识过对称现象，所以在五年级学习轴对称时接受起来较为容易。

但由于概念建立不牢固，暴露出了一些问题：

①个别学生认为长方形有四条对称轴。

②平行四边形为什么不是轴对称图形？

③部分学生画对称轴时，画成实线，或者所画的线局限在图形内部。

④对称轴找不全，思考问题不全面。

⑤画对称图形的另一侧不准确。

基于此，教师布置了以动手直观操作为主的实践作业：

①剪出下面图形的纸片：长方形、正方形、等边三角形、不等边三角形、平行四边形、等腰梯形、直角梯形、圆形。自己动手研究一下它们的对称轴条数。

②仿照课本习题，自己编写练习题。

在第二天的展示中，学生通过折、画、想，以上五个问题全部解决，老师只是指导点拨强化了几句，尤其是关于平行四边形的对称问题留了悬念：这么漂亮的图形竟然不是轴对称图形，那会不会存在其他对称现象呢？为孩子们以后学习中心对称做好了铺垫。

学习完“轴对称、平移、旋转”内容的第一个寒假，我给学生布置了有关的实践研究作业：

1.剪窗花：通过简单的轴对称、旋转、平移设计一份简洁好看的窗花。

2.制作模型：用卡纸制作长方体与正方体模型各一个，并试着研究它们的表面积；用橡皮泥与一次性筷子或塑料小棒拼搭长方体与正方体框架，试着研究它们的顶点、棱长、面等特征。

3.做灯笼：在元宵节前，利用学过的图形和绘画知识，自己用身边的材料制作灯笼。

以上三项活动和研究各写一份研究小报告或编制数学故事，可以查阅课本、网络和工具书，可以走访民间艺人，可以和家人一起完成。

以上设计基于以下几方面的思考：

1.突破由平面到立体的学习难点

五年级下册“长方体与正方体”这个单元是一个承上启下的重要单元，知识点多且题型复杂多变，对于学生从平面图形向立体图形过渡具有重要的意义。根据以往经验，因为缺乏必要的操作和直观认识，历年的学生都会在这里遇到很多学习困难，表象很难建立，概念很难形成，且这个单元对学生的空间想象能力有比较高的要求，而这一能力又离不开具体的活动经验来支撑。

为了分散学习难度，寒假里就让学生动手实践制作长方体与正方体模型，相当于是设计了一个“长作业”，也属于新知学习之前的“浪漫学习”。这样等学生正式学习这一内容时，就会感到稍微轻松一些。

2.让学生经历数学探究学习的全过程

让学生多经历一些数学直观操作和研究的过程，也就是让他们能“像数学家一样思考”。寒假里时间多，抛给他们研究性的学习任务，让他们自己动手观察思考，并试着将自己的收获写成一份小小的调查报告，这也正是科学研究的大致过程。同时，鼓励孩子们自己查阅资料、走访和主动学习，这更是对学生收集信息、处理信息及自学能力的培养，有利于他们形成终身学习所必需的数学学习素养。

3.感受图形美

“图形与几何”领域可以设计大量的实践活动，让学生体验研究数学的乐趣，积累数学活动的经验，感受数学的图形美；从“剪窗花”中感受图形的对称美、平移美、旋转美；从制作灯笼和立方体框架的过程中，感受数学的空间美、图案美；从感受图形特征中，感受到图形的稳定美、活动美、应用美。让学生感受到数学学习不全是简单枯燥的，而是有特有的美和魅力蕴含在里面。

4.体味传统文化

我们的数学学习也承载着培养学生文化自信的功能，随着物质生活的发展，人们常常慨叹现在过年缺少“年味儿”，很大程度上是因为“快餐式”生活和快节奏的工作让人们忽略了我们中华民族和传统文化中很多值得传承的优秀的文化。通过“剪窗花”“贴春联”“做灯笼”等和数学学习密切相关的实践活动，让孩子们去搜集相关的文化背景资料，探访身边的民间艺人，亲自参与这些文化气息浓厚的活动，撰写相关的研究报告，在这个过程中，感悟传统文化的独特魅力，感受我们中华民族五千年来的优秀传承，感受祖国日新月异的变化，增强爱国意识，增强文化自信。

5.培养动手操作能力和劳动能力

东北师大史宁中教授说：“智慧并不表现在经验的结果上，也不表现在思考的结果上，而表现在经验的过程，表现在思考的过程。”

在学习“长方体”有关知识时，动手操作充斥在每一节的教学中及课前准备和课后延伸中，学生在操作中感知特征，在操作中体会大小，在操作中推导计算方法，在动手动脑中发展空间观念。

学习“长方体的特征”时，让学生都用塑料小棒和接头做框架，在做的过程中体会长方体的长度、宽度（厚度）、高度，直观感知立体的三维空间，所用小棒的长短、个数和棱的长短、相对的棱的位置关系、长度关系等都密切相关，所用接头的个数和顶点个数一一对应，在插接的过程中感受每条棱的位置、棱围成的面的位置和形状，相交于一个顶点的三条棱的位置关系，从而感知长方体的长、宽、高。

学习“长方体的表面积”时，我又安排了“糊灯笼”的作业。与寒假的“做灯笼”作业不同的是，寒假时是让孩子们充分发挥想象力和创造力，做成什么样的都行，这次因为学习“长方体和正方体的表面积”，所以定向要求学生在家里和家长一起制作长方体、正方体或者其他柱体及锥体形状的框架，甚至是任意形状的框架，让孩子们在制作中再次体会立体图形的棱、顶点的特点，在往框架上糊纸的过程中感悟每个面的形状和大小，进而形成“表面积”的直观感受和初步表象。

师：制作灯笼有什么感受？

生1：好玩。

生2：挺难的。

生3：制作灯笼的艺人叔叔阿姨们真不容易啊！

生4：打着自己制作的灯笼好有成就感！

……

师：看来在制作的过程中大家收获不少啊，还有什么发现呢？

生1：我发现制作长方体形状的灯笼框架时，相对的木条长度都相等。

生2：对，在准备材料时，每组需要至少准备4根同样长的。

师：为什么至少准备4根同样长的呢？

生：因为长方体每组相对的棱都有4条，在制作过程中还有损坏，所以有时候准备了五六根，用上的是4根。

师：嗯，不错，知道了实际操作中和我们想象中是不完全一样的，还有哪些收获？

生1：糊灯笼需要先裁剪纸片。

生2：糊灯笼要给安装蜡烛和蜡烛燃烧冒的烟留好孔，不然会把灯笼烤焦引燃。

生3：我们糊灯笼时，实际用的纸要比框架围成的图形大不少，因为需要往框架上固定粘贴。

生4：长方体框架裁剪的纸片都是长方形的。

生5：还有很多不规则的纸片。

……

孩子们在制作过程中既感受到了框架怎么拼插，复习了长、宽、高及相对的棱长度相等，相对的面大小相同，也感受到不同形状的物体都有自己的表面和表面积，又感受到了如何把表面糊好，而且还知道了实际生活中有些物件的表面不需要全糊起来，实际操作的耗费比我们计算中的数据都要多一些，学会解决生活中的实际问题，提高了动手能力，体悟了传统文化魅力，进而比较牢固地掌握表面积的计算方法。

同时，我还借助孩子们在家里玩的玩具“磁力片”，让孩子们用磁力片围成不同形状的长方体和正方体的样子，在拼和拆的过程中体会长方体和正方体的特征，感受长方体和正方体表面展开图的样子，进而知道需要多少个什么样的“面”才能拼成长方体或正方体。进而让孩子们用正三角形等形状的磁力片拼成金字塔等形状，感受三棱锥等其他图形的表面形状，为后面学习圆柱体及更复杂立体图形的表面积打好基础。

在“圆柱体的表面积”学习中，我让学生课前剪易拉罐感悟圆柱表面积，可以沿着高剪，也可以随意剪，然后通过各种形式拼接成长方形的样子，带领学生到修路的施工工地看轧路机工作，体会圆柱体侧面展开图和表面积，地面周长与轧出长方形路面长度的关系，圆柱体的高与轧出的路面图形的宽之间的关系。

在感悟“体积”的概念时，先让孩子们做“装沙”实验，在空容器里装满沙，倒出来，再往容器里放入一个木块，再往里面装原来的沙子，最终发现有些沙子装不下了。

提出问题：

师：为什么装不下了？

生1：木块在里面了。

生2：加入木块了。

师：为什么放入木块沙子就装不下了？

生：因为木块占据了沙子的空间。

师：还可以怎么说？

生：木块占据了圆柱体杯子的空间。(www.xing528.com)

师：木块放在桌子上会占据空间吗？

生1：会。

生2：会占据空气的空间。

生3：会占据教室的空间。

生4：放到哪里都会占据空间。

师：对，木块会占据空间。（板书）

学生初步感知了固体会占据空间，再让孩子们在小组内演示与“乌鸦喝水”类似的“水槽内放石块”实验。先往带刻度的水槽内加入一定量的清水，记录好水的高度，然后往水槽内分别浸入两个大小不同的石块（可以是完全浸没，也可以是不完全浸没），分别记录水面的高度。

师：发现了什么？

生1：水面上升了。

生2：两次水面都上升了。

生3：两次水面上升的高度不一样。

……

师：水多了吗？

生：没有。

师：那为什么水面会上升呢？

生1：石块把水挤上来了。

生2：石块占了水的空间。

生3：石块占了水槽的空间。

……

师：对，石块占据了它们的空间，那么石块拿出来在桌子上占据空间吗？

生：占。

师：占了谁的空间？

生1：占了教室的空间。

生2：占了空气的空间。

师：对，石块也占据空间。（板书）

师：那么，两次往水里放石块看到的现象一样吗？

生1：不一样。

生2：小石块放入时水面升高的高度小，大石块放入时水面升高的高度大。

生3：同样一块石块，完全浸入水面下上升的高度大，有露在外面的上升的高度小。

……

师：为什么会这样？

生1：大石块占据的空间大，小石块占据的空间小。

生2：完全浸入时，浸入部分占据水的空间大；不完全浸入时，浸入部分占据水的空间小。

师：那么石块变小了吗？

生：没有，只不过一部分占据了水的空间，露在外面的部分占据了空气的空间。

师：还占据了谁的空间？

生1：还占据了水槽的空间。

生2：也占据了教室的空间。

师：这里，只是石块占据空间吗？

生1：水也占据了水槽的空间。

生2：水槽也占据了空间。

师：那么，我们得出什么结论呢？

生1：很多不一样的物体都占据空间。

生2：不同物体占据的空间有大有小。

师：说得好，像木块、石块、水、水槽等物体，包括坐在教室里的我们、桌椅、书本等很多物体都会占据一定的空间，而且不同物体占据的空间可能大小不同。

到这里，学生对体积的感知已经比较到位，知道了液体也会占据空间，不同大小的物体所占据的空间大小不同。接着安排了第三个实验——塑料袋中有什么？

教师拿出一个充满空气系好口的塑料袋。

师：观察，老师手里有什么？

生：塑料袋。

师：还有什么？

生：……

师：为什么塑料袋鼓鼓的？

生：里面充满了空气。

师：对，那么空气也会占据空间吗？

生：会。

师：你还能举一个空气占据空间的例子吗？

学生思考。

生1：吹气球，气球鼓起来了，不断地吹，不断增大。

生2：我玩过注射器，用手堵住注射器安针头一侧的小孔，用力压另一端，压不动，说明里面充满了空气。

……

师：同学们说得真好。在我们的周围到处充满着空气，它们也占据着空间，和我们朝夕相处。

至此，在充分的操作中，“体积”的概念基本建立，学生充分理解了“体积”的意义，直观操作在概念形成中起到了不可替代的重要作用。

在学习“长方体的体积”时，我让孩子们在家里练习切土豆，把土豆一刀一刀切成近似的长方体形状，在切的过程中感知面的特点，感悟“面”的个数和形状，并且从另一个角度增加对“横切面”“纵切面”的感知，让孩子们把长方体形状的土豆平均切成若干排、若干块，体会体积大小的计算是由“体积单位”的多少来决定的，进而感悟长方体体积的计算方法。课上，则让孩子们用若干体积为“1立方厘米”的小塑料块按照“1行”“若干行”“几层”的顺序摆成一个较大的长方体形状，然后观察、思考、交流长方体体积的计算方法。