数学花园漫游记：破解侦查员策略

我们对表上游戏谈了不少了，请你不要忘记，表上游戏不过是多种多样的对策问题的模型。如果只讨论表上游戏，而不知道怎样把它和其他的对策问题联系起来，就没有什么意思了。

让我们还是回来研究一下跟踪问题吧，看怎样利用表上游戏来解决侦查员小王的问题。

在这个问题中，斗智的双方是小王和“熊”。我们可以想象，另外两个间谍是受“熊”指挥的。所以小王相当于甲方，“熊”相当于乙方。

双方各有多少可以考虑的策略呢？

“熊”的策略比较简单。它只需安排一下3个人出去的先后次序就行了。为了方便起见，我们假定另外两个间谍一个叫“狼”，一个叫“蛇”，按个子来说，熊最高，狼其次，蛇最矮。他们出去的次序一共有以下6种：

1.熊、狼、蛇；2.熊、蛇、狼；

3.狼、熊、蛇；4.狼、蛇、熊；

5.蛇、熊、狼；6.蛇、狼、熊。

“熊”的策略就是这6种。必要时，他可以按一定比例混合这6种策略。

小王的策略比较复杂。他可以不管三七二十一，跟踪第一个出来的人；或者放走第一个出来的人，跟踪第二个出来的人。当然，他也可以把这两个都放走，跟踪最后出来的人。看来他只有这3个策略可以采取。

其实不然，小王还有一个策略可以考虑，这就是放过第一个出来的人，等到第二个人出来，看他如果比第一个高（小王是侦查员，判断人的高矮有充分的把握），就跟踪他，否则就等第三个人。这就是他的另一个策略。如果第三个人出来又不是高个，那一定不是“熊”，就没有跟踪的必要了。

这样，小王的策略共有4个：

1.跟踪第一个人；

2.跟踪第二个人；

3.跟踪第三个人；

4.放走第一个人，再根据第二个人是不是比第一个人高，决定是不是跟踪他。

这样看来甲方有4个策略，乙方有6个策略，我们就可以用一个四横行、六竖行的表上游戏来做它的模型（见下表）。

表里写“1”的地方是小王胜利，写“0”的地方是小王失败。所以这个表上的数，可以算成是小王赢的分数。

这个表里有几个值得注意的地方：

你看，第一竖行和第二竖行数字两两相同。这是什么意思呢？

很简单，第一竖行和第二竖行代表着“熊”的两种策略，它们共同之处是熊先走，不同的地方是“狼”和“蛇”谁先走。假定“熊”采用了这两种策略中的一个，那么，只要小王打算跟踪第一个人，就一定胜利。相反，只要小王打算放过第一个人，就一定失败。所以“熊”的这两种策略，效果完全是一样的。了解了这个道理，我们可以干脆把“熊”的这两个策略去掉一个，比如去掉第二个，保留第一个。

同样的道理，可以去掉第五个策略，保留第三个策略。这两个策略都是“熊”第二个出去。(www.xing528.com)

你可能会想，“熊”的第四个和第六个策略是不是也可以照此办理，去掉一个、留下一个呢？

从表上可以看出，第四个策略和第六个策略效果是不一样的。虽然在这两个策略中，“熊”都是第三个出去。但是，如果小王采取第四个策略，他就会根据第二个出去的人是不是比第一个出去的人高一些，来决定要不要追踪第二个人。这样一来，先让“蛇”走或是先让“狼”走就有了不同的效果。先让“蛇”走，小王就会跟“狼”而去，而“熊”就肯定溜脱了。

因此，在“熊”看来，不论小王的策略如何，第六个策略总不会比第四个策略差。所似熊应该保留第六个策略而去掉第四个策略。

这样一来，熊就只剩下第一、第三、第六这3个策略了。

从小王来看呢？第二个策略与第四个策略只有一点不同，那就是第四个策略多了一个得胜的可能性：如果3个间谍按照“狼、蛇、熊”的顺序走出来，小王的第二个策略将会失败，而第四个策略将会胜利。因此，第四个策略不比第二个策略差。这样，小王的策略也就只剩了第一、第三、第四这3个了。

把可以去掉的策略去掉，上面的表就成了：

这个表上游戏可以像上节的问题那样，算出双方应按什么比例去混合策略，结论是，都按的比例去混合自己的策略。

形象地说，小王明白这个道理后，可以看看手表，如果秒针在12点与4点之间，他就采取第一个策略；如果秒针在4点与8点之间，他就采取第三个策略；如果秒针在8点到12点之间，他就采取第四个策略。这就是按的比例混合了第一、第三、第四这3个策略。

如果“熊”没有想到侦查员在外面等着他，他很可能任意安排一个出门的顺序。这相当于把6种策略按的比例混合起来，那么小王得胜的机会就会增加到。

如果小王猜到“熊”会按这个比例混合他的6种策略，那么，他就会干脆采用第四个策略，而把得胜的机会，提高到。

但是他的这个意图如果一旦被“熊”猜中，他就会毫不犹疑地第一个走出去，使小王完全失败。

因此，双方都只好谨慎地按照上面的对策论的观点，来选择自己的策略。

如果双方都这样做了，我们就可以算出小王在这次斗智中获胜的机会是。

你不要感到遗憾。公平地说，小王的任务的确是很难完成的，有了的机会也就很不错了。如果弄得不好，连这个机会还得不到哩！

名师导读

首先肯定的是，作者马希文教授是非常了解读者的，在文章的结尾告诉我们不要遗憾，这三分之一的取胜机会都是很不容易的。如果不经过计算连三分之一的机会都没有。是啊，如果我们是侦查员，真的很难确定该跟踪谁，作者也说了，这是个很难完成的任务，我想最好派三个人去，每人跟踪一个，就好了。

如果真的只有你一个人去侦查，如果不去进行复杂的计算，我就随便跟踪谁，再没有策略，完成任务的可能性是很小的，但是经过计算，我可以放过第一个，如果第二个人比他高，我就跟踪第二个人，也就是只要第一个人不是最高的，完成任务的概率就提高到二分之一。但是如果第一个出来的人是最高的，那就彻底失败了。但是也比毫无策略的去跟踪要好的多。

通过这篇文章想和同学们探讨一下“概率”。概率俗话说就是可能性，生活中的大多数事件都不是只有一定发生和一定不发生两种情况，比如说生孩子，没出生之前谁也不能确定一定是男孩还是女孩，可能性各有50%；再比如说彩票，那么多球，出现哪个数是随机的，能中你买的号码的可能性是非常非常小的……还有很多事情的发生可能性是不一样的，所以数学家们研究事件发生的可能性，那研究这些到底有什么用呢？比如天气，同学们偶尔会惊讶于为什么天气预报不准，说好的下雨却没下，说好的没有雨，却下雨了。其实天气预报是根据大数据对天气进行的预测，如果下雨的可能性比不下雨的可能性大，预报就会说下雨。虽然根据风向、云朵显示下雨的可能性大，但是完全有不下雨的可能，只是可能性小，即使可能性小，也有发生的可能，就像买彩票中奖的可能性很小，但是经常有人会中奖一样。经济学家也是通过研究事件发生的可能性来制定一些理财、投资或者保险的种类和金额，在这里就不详细解释了。希望同学们多多了解统计与概率学，这样才能更加客观的认识世界。

例：口袋里有红黄蓝三种颜色的球一共8个，3个红色，3个蓝色，问摸出黄球的可能性是多大。

答案：1-