基于Copula函数的多元分布分解研究

设X=（X1，X2…，Xn）为n维随机变量，其联合密度函数和联合分布函数分别为：

边际密度函数和边际分布函数分别为：fi（xi），i=1，2，…，n以及Fi（xi），i=1，2，…，n。用f（·｜·）表示对应的条件密度函数，则根据联合密度函数的性质和定义，该n维随机变量X的联合密度函数分解式可以表示为：

下面就该表达式的具体推导过程进行详细的介绍。

根据Copula函数的定义，即［0，1］n上的多元分布函数，且边际分布为标准均匀分布。用C（u1，u2，…，un）和c（u1，u2，…，un）分别表示Copula分布函数和Copula密度函数，则根据Sklar定理，对于具有连续边际分布函数的二元完全连续分布函数F（x1，x2）来说，其联合密度函数和条件密度函数可以分别表示为：

式中，c12为二元Copula密度函数。由此即可得到基于Copula函数的二元随机变量密度函数的分解。

在上述二元随机变量分布函数分解式的基础上可以得到，对于三维随机变量X=（X1，X2，X3）～F来说，设其边际分布函数分别为F1，F2，F3，对应的联合密度函数和边际密度函数分别为f（x1，x2，x3）及f1（x1），f2（x2），f3（x3），则有(www.xing528.com)

式中：

故有：

由此可见，三维联合密度函数可以由双变量Copula C1，2，C1，3，C2，3｜1对应的密度c1，2，c1，3，c2，3｜1来表示。一般情况下，均假设条件Copula函数C2，3｜1与条件变量X1相互独立。

以上即为在Copula函数的基础上对多元分布密度函数进行分解的思路。将该分解式推广到n维随机变量即可得到藤Copula模型的建模基础，即pair-Copula结构。