中学数学课程发展：数学与数学美的客观视角

数学家在发明创造、发现论证严谨的数学同时，也展现着他们对数学的热爱，甚至痴迷，在他们眼里数学是如此的“美”.法国大数学家彭加莱曾经写道：“数学的美感、数和形的和谐感、几何学的雅致感，这是一切真正的数学家都知道的审美感.”他也清楚地表明，这种数学美学因素对于数学发明创造具有重要意义.在他看来，“缺乏这种审美感的人永远不会成为真正的创造者.”另外，“数学家把重大的意义与他们的方法和他们的结果的雅致联系起来，这不是纯粹的浅薄涉猎.在解中、在证明中给我们以雅致感的实际上是什么呢？是各部分的和谐，是它们的对称、它们的巧妙平衡；一句话，雅致感是所有引入秩序的东西，是所有给出统一、容许我们清楚地观察和一举理解整体和细节的东西.可是，这正好就是产生重大结果的东西.”［54］彭加莱将和谐感与雅致感看作是非常主要的数学美学标准.

曾把数学比拟为艺术的著名数学家哈代对于数学美学有着自己的评判，他明确指出：“数学定理的美丽在很大程度上依赖其严肃性.”哈代写道，“最好的数学是严肃而又美丽的.数学定理的严肃不在于它通常具有不可忽略的实践效果，而在于被它所联系的数学概念的重要意义.粗略地说，如果一个数学概念能够以一种自然的而又令人恍然大悟的方式与众多的其他数学概念相联系，那么它就是‘具有重要意义的’.”［55］在哈代看来，数学美与数学的严谨性、有意义性密不可分.哈代列举了古希腊数学中的两个有名定理：其中一个是欧几里得关于存在无限多个素数的证明；另一个是毕达哥拉斯关于的无理性的证明.这两个定理都很“简单”，在思想和演算上都很简单，但毫无疑问它们是最高水平的定理.［56］

另外，波雷尔（E.Borel）也曾明确指出：“我相信，我们的美学并不总是那么纯净而奥秘的，也包含几条较为世俗的检验标准，例如意义、后果、适用、用途——不过是在数学科学的范围内.”［57］我国著名数学家徐利治论述道：“科学家和数学家从美学的观点去探索和研究客观世界，并有所发明创造，当是一件顺理成章和易于理解的事情.”［58］

我国历史上最伟大的数学家刘徽首次提出数学美的概念，他的数学就是具有“简单而和谐”特征的数学，而且认为数学美比数学的应用更重要.他在为《九章算术》作注时，用“割圆术”最终证明了圆的面积公式为“半周乘半径得积步”.在证明中，他多次明确地使用极限思想，且先作无穷小分割，后求其极限状态下的和的方法.这与现代积分方法近似，即与元素法本质一样，只是顺序不同而已.刘徽采用“分割，极限，求和”，而元素法是“分割，求和，取极限”.［59］刘徽在处理错综复杂问题时，使用“割之又割”的无穷小分割思想不仅证明了圆面积公式，还用刘徽原理解决了“阳马”和“鳖臑”公式.不仅如此，他利用极限思想解决了圆周率的近似计算问题.在其证明中刘徽析理以辞，解体用图，刘徽的逻辑证明严格准确，充分体现他对“简单而和谐”的数学的贡献.(www.xing528.com)

关于数学美的论述可以追溯到公元前6世纪的古希腊.毕达哥拉斯学派把数视为过程宇宙的基本因素，数的和谐构成了宇宙的和谐，美就是从这一和谐中产生出来的.按他们的逻辑，一切按照数的秩序所构成的形式，如节奏、对称、多样性的统一等都是美的.古代哲学家、数学家普洛克拉斯（Proclus）曾断言，“哪里有数，哪里就有美”.亚里士多德（Aristotle）也曾指出：虽然数学没有明显地提到美，但数学与美并不是没有关系.数学尤其会展示秩序、对称和极限，而这些是美的主要形式，这也正是数学研究的一种原则.亚里士多德将数学美归因于数学本身，而不依赖于数学家本身.例如，文艺复兴时期的著名画家达·芬奇（D.Vinci）曾像研究数学一样地研究过人体.他在他所画的一张人体比例图上注以下述文字说明：叉开两腿使身高降低十四分之一（如身高为1.78 m，则下降0.13 m），再分举两手使中指端与头并齐，此时肚脐眼恰是伸展的四肢端点的外接圆中心，两腿当中的空间构成一个等边三角形.［60］这段文字充分展示了以数体现美的寓意，不失为美学与数学间的关系的一种体现.

通过数学家对数学美的赞赏与研究可见，数学美镶嵌在数学的发明创造之中，来自数学学科本身的美，在他们看来数学美主要是一种理性内在的形式美.