思维是在人的意识中反映客观世界的一个积极的过程.从形式逻辑的观点看，思维表现为三种基本形式：概念、判断、推理.推理是一种高级思维形式，通常会实现由一个或几个互相联系的判断向一个新的判断过渡，而新判断包含了关于研究对象的新知识.因此，从一个或者几个已知的判断得出一个新的判断—结论的过程，成为推理.
数学推理在认识数学知识方面具有极其重大的作用.虽然数学的最后结果是定型的形式，但是其创造过程是富有推理性的.大部分数学语句是由为数不多的基本判断推导出来的，而基本判断通常是借助直接经验获得的，它反映的是我们关于现实对象的最简单的和一般的知识，因此，数学推理扩大了我们对于现实世界中的对象和知识的认知范围.
学者们对数学推理的认识大致经历以下三个阶段：
图5-5 对数学推理的认识过程
长期以来，数学推理被认为本质上是一种纯粹的逻辑推理，常被作为思维训练的良好素材.20世纪，数学家彭加莱在其“数学推理的本性”中对沿袭了两千多年之久的数学“三段论”，提出了质疑.他认为数学推理除了纯粹分析，还存在着归纳的性质，具有创造的特征.(www.xing528.com)
随后数学家波利亚将数学推理概括为两种：论证推理（演绎推理）和合情推理，两者相互补充.数学家的创造性工作成果是演绎推理，但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的.其过程如下：
波利亚认为用演绎推理来肯定数学知识，而借合情推理为猜想提供依据.无疑，论证推理是可靠的、无可置辩和终决的.合情推理是冒风险的、有争议的和暂时的.但演绎推理本身（如数学本身那样）并不能产生关于我们周围世界本质上的新知识，我们所学到的关于世界的任何新东西都包含合情推理.
合情推理与演绎推理的区别在于其结论性质不同.合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理，其结论仅仅是似真的（当前提为真时“可能为真”），合情推理的主要形式是归纳推理和类比推理.法国数学家拉普拉斯（P.S.Laplace）曾认为，在数学里，发现真理的主要工具是归纳和类比.［32］演绎推理的前提和结论间具有蕴涵关系，是必然性推理，其结论是真实的（当前提为真时“必然为真”），演绎推理的主要形式是三段论（大前提、小前提和结论）.演绎推理即逻辑的推理，带有形式化的性质，这个性质就是，在我们的推理证明中，某一个命题是由其他几个命题推出的，其根据是命题的形式、结构之间的一定的联系，而与这些命题的具体内容无关.［33］法国数学家阿达玛在阐述演绎的（严密的）证明的作用时说过，数学严密性的目的就是肯定直觉的成果，并使之有根据，除此之外，数学的严密性绝没有其他目的.
近年来，著名心理学家、数学教育家斯腾伯格在几十年的教学、实践调查和对学生认知过程分析的基础上，提出三类数学推理——分析性推理、创造性推理和实践性推理——同时起着重要作用.分析性推理倾向于演绎式逻辑分析，创造性推理倾向于猜想与发现的活动过程，而实践性推理则指在具体、真实的问题情境中，推断、策划解决问题的办法.［34］此外，斯腾伯格认为进行这三类推理有一个共同的基本过程，在解决数学问题和其他各类问题时，需要这个过程.这个过程包括：确认问题本质——表述解决问题的策略——心理表征问题——策划解决问题的办法——检验评价解答.［35］
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