基于极限理论的最优再保险函数条件

与前面相似，我们要求:

则

则

则

下面我们给出主要结果。

定理2.4设DR*(Y)＞0。如果存在λ≥0以及R*:[0，∞)→(-∞，∞)使得下述条件成立:

(i)对每一y≥0使得R*(y)＝R1(y)，有

下面我们给出主要结果。

定理2.4设DR*(Y)＞0。如果存在λ≥0以及R*:[0，∞)→(-∞，∞)使得下述条件成立:

(i)对每一y≥0使得R*(y)＝R1(y)，有

下面我们给出主要结果。

定理2.4设DR*(Y)＞0。如果存在λ≥0以及R*:[0，∞)→(-∞，∞)使得下述条件成立:

(i)对每一y≥0使得R*(y)＝R1(y)，有

(ii)对每一y≥0使得R*(y)＝R2(y)及R1(y)＜R2(y)，有

(ii)对每一y≥0使得R*(y)＝R2(y)及R1(y)＜R2(y)，有

(ii)对每一y≥0使得R*(y)＝R2(y)及R1(y)＜R2(y)，有

(iii)对每一y≥0使得R1(y)＜R*(y)＜R2(y)，有

(iii)对每一y≥0使得R1(y)＜R*(y)＜R2(y)，有

(iii)对每一y≥0使得R1(y)＜R*(y)＜R2(y)，有

(iv)π(R*)≤P，λ(π(R*)-P)＝0，

那么，在集合R(R1，R2)和条件π(R)≤P下，R*(y)使ρ(R)最小，也即为最优再保险合同。

证明:考虑拉格朗日函数:

(iv)π(R*)≤P，λ(π(R*)-P)＝0，

那么，在集合R(R1，R2)和条件π(R)≤P下，R*(y)使ρ(R)最小，也即为最优再保险合同。(www.xing528.com)

证明:考虑拉格朗日函数:

(iv)π(R*)≤P，λ(π(R*)-P)＝0，

那么，在集合R(R1，R2)和条件π(R)≤P下，R*(y)使ρ(R)最小，也即为最优再保险合同。

证明:考虑拉格朗日函数:

这里λ≥0。在集合R(R1，R2)中以及π(R)≤P限制条件下，要使ρ(R*)最小，须同时满足λ(π(R*)-P)＝0和Lλ(R*)≤Lλ(R)即可，其中R，R*∈R(R1，R2)。事实上，对任意的R∈R(R1，R2)，当λ(π(R*)-P)＝0时，有

这里λ≥0。在集合R(R1，R2)中以及π(R)≤P限制条件下，要使ρ(R*)最小，须同时满足λ(π(R*)-P)＝0和Lλ(R*)≤Lλ(R)即可，其中R，R*∈R(R1，R2)。事实上，对任意的R∈R(R1，R2)，当λ(π(R*)-P)＝0时，有

这里λ≥0。在集合R(R1，R2)中以及π(R)≤P限制条件下，要使ρ(R*)最小，须同时满足λ(π(R*)-P)＝0和Lλ(R*)≤Lλ(R)即可，其中R，R*∈R(R1，R2)。事实上，对任意的R∈R(R1，R2)，当λ(π(R*)-P)＝0时，有

于是由(iv)知，对给定λ≥0，只要证明在R(R1，R2)上R*使得Lλ最小即可。

易知

于是由(iv)知，对给定λ≥0，只要证明在R(R1，R2)上R*使得Lλ最小即可。

易知

于是由(iv)知，对给定λ≥0，只要证明在R(R1，R2)上R*使得Lλ最小即可。

易知

把式(2.31)和式(2.32)代入式(2.34)，应用Cauchy-Schwarts不等式得:

把式(2.31)和式(2.32)代入式(2.34)，应用Cauchy-Schwarts不等式得:

把式(2.31)和式(2.32)代入式(2.34)，应用Cauchy-Schwarts不等式得:

在A上，由条件(i)和R(y)≥R1(Y)知，第一个积分非负；在C上，由条件(ii)和R(y)＜R2(y)知，第三个积分非负；在集B上，由条件(iii)知第二个积分为0，于是Lλ(R)-Lλ(R*)≥0。因此，在R(R1，R2)上，R*使得Lλ(.)最小，即R*为最优的再保险合同。证毕。

Daykin(1993)和Personen(1984)已经得出在πr(R)＝(1+β)ER(Y)计算价格标准下，最优再保险合同形式为停止再保险形式，即R＝(Y-b)+，其中a+表示max(a，0)。

在A上，由条件(i)和R(y)≥R1(Y)知，第一个积分非负；在C上，由条件(ii)和R(y)＜R2(y)知，第三个积分非负；在集B上，由条件(iii)知第二个积分为0，于是Lλ(R)-Lλ(R*)≥0。因此，在R(R1，R2)上，R*使得Lλ(.)最小，即R*为最优的再保险合同。证毕。

Daykin(1993)和Personen(1984)已经得出在πr(R)＝(1+β)ER(Y)计算价格标准下，最优再保险合同形式为停止再保险形式，即R＝(Y-b)+，其中a+表示max(a，0)。

在A上，由条件(i)和R(y)≥R1(Y)知，第一个积分非负；在C上，由条件(ii)和R(y)＜R2(y)知，第三个积分非负；在集B上，由条件(iii)知第二个积分为0，于是Lλ(R)-Lλ(R*)≥0。因此，在R(R1，R2)上，R*使得Lλ(.)最小，即R*为最优的再保险合同。证毕。

Daykin(1993)和Personen(1984)已经得出在πr(R)＝(1+β)ER(Y)计算价格标准下，最优再保险合同形式为停止再保险形式，即R＝(Y-b)+，其中a+表示max(a，0)。