代数学的主要内容之一是求解代数方程和代数方程组。
早在古代数学的发展中，数学家们就发现了一次、二次、三次、四次代数方程的根式求解法。后来数学家们开始向五次和五次以上的高次代数方程进军，力图用同样的方法求解高次代数方程。在这个过程中，开创了一个新的数学分支——群论。
在对高次方程的根式求解中，做出杰出贡献的是两位不到30岁的年轻数学家阿贝尔和伽罗华。
阿贝尔是挪威人，于1802年8月5日出生在克里斯卡尼亚附近的一个贫苦乡村牧师的家庭里，幼年丧父。由于家里生活非常困难，使阿贝尔不能按部就班地求学深造。
阿贝尔自幼聪明好学，数学成绩出众，因家境贫寒，常常依靠周围的人和亲友的帮助，使他在求学时期就结交了许多朋友。
从中学时代起，阿贝尔对数学更感兴趣，这和学校的数学教师霍伦波很有关系。霍伦波有较高的数学知识，对班级的数学尖子阿贝尔非常喜欢，注意培养他的数学才能，发掘他的数学天赋，借给他数学家的名著。
从此，阿贝尔一头扎进数学家的著作里，刻苦攻读，成了“数学迷”。中学还没有毕业，阿贝尔就向当时公认的数学难题，关于五次方程的代数解法展开了进攻。
我们知道一元一次方程的求根公式，也了解一元二次方程的两个根的求根公式。
比如在二次方程ax2＋bx＋c＝0，其中x是未知数，a，b，C都是已知数，那么这个二次方程的根可用公式：
来计算。
凡是给出这样一个公式的，就把方程称为“可以代数求解”，凡是给不出这样一个公式的，就把方程称为“不可以代数求解”。
二次方程的代数解法，很早就解决了。三次、四次方程的代数解法，已在16世纪由意大利数学家塔塔里亚和费拉利等人解决了。
数学家的目光自然地转移到五次方程或更高次方程的求根公式上。在17世纪和18世纪，几乎所有数学家都研究过这个问题，但都没有成功。著名数学家欧拉和拉格朗日也研究过这个问题，拉格朗日说，这个问题好像是在向人类的智慧挑战。
既然许多人的尝试都失败了，是否像欧氏几何中的第5公设不可证明一样，根本不存在四次以上高次方程的代数解法呢？但是，这也需要数学证明。1801年，高斯在他的《算术研究》一书中指出，某些高次代数方程能够用根式法求解。但是，他没有进行严格的证明。
阿贝尔在中学就向这个难题进军，充分发现了他初生牛犊不怕虎的闯劲，以及青年人那敢想敢干的蓬勃朝气。当然，他的努力失败了，毕竟他还太小，掌握的数学知识太少，单凭朝气和闯劲是解决不了问题的。
1820年，阿贝尔在亲友的帮助和支持下，考入大学。当时，这所大学没有数学系，而阿贝尔的特长在数学方面，于是他在完成学校规定的课程外。把全部时间和精力用于研究数学。
在大学期间，阿贝尔继续研究五次方程的求解问题。怎样用加、减、乘、除和开方的代数运算，来求出五次方程的解呢？他冥思苦想，反复运算，希望有朝一日能解决这个难题。
阿贝尔善于学习前人的经验，特别对一些数学大师的著作深有研究。欧拉、拉格朗日、柯西、高斯等人的著作和文章，都对阿贝尔很有启发。通过不断的探索和研究，在1824年，22岁的阿贝尔根据意大利数学家鲁芬尼的预言，证明了五次代数方程用加、减、乘、除、开方等代数运算将根明显地表达出来是不可能的。(www.xing528.com)
在此基础上，阿贝尔写成论文《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》，从而解决了几百年一直没有解决的问题，开辟了近代代数方程论的道路。这篇论文，以后被收进阿贝尔的全集，流传至今。
但在当时，阿贝尔必须自己掏钱来印刷论文。贫穷的阿贝尔读书都要别人资助，哪里有钱呢？阿贝尔深知这一结果的重要性，为了让更多的人知道，便咬紧牙关，把论文浓缩成只有6页的小册子，印刷了出来。可惜的是，由于论文太短，他的证明就显得不够充分了。
阿贝尔满怀信心地把这些小册子寄给外国一些著名的数学家，希望得到他们的肯定。
但是，阿贝尔没有想到，一个22岁的不知名的小人物，解决了几百年悬而未决的大问题，这能叫人相信吗？当那些数学权威们收到他那印得很差的论文时，有的人随手翻了一下便扔进了垃圾堆，甚至有人连翻都没有翻，就弃之一边了。
当数学之王高斯收到小册子时，觉得用如此短的篇幅来证明这个著名的问题是不可能的，便随手放进了书堆里。他哪里知道，这个小册子是阿贝尔无钱出版而高度浓缩的呢？
大学毕业后，阿贝尔为了得到名家指点，钻研自己喜爱的数学，在1825年来到德国柏林。由于找不到工作，只得靠投稿加做工来维持生活。但不管遇到什么困难，他都离不开数学，而是仍然按照他的计划和目标向数学王国冲锋陷阵。
阿贝尔是一个意志非常坚强的人，他钻研数学的目的，不是为了金钱，也不是为了出人头地，更不是为了成名成家，而是为了科学。即使再极端的困难，甚至在连肚子都填不饱的情况下，他仍然没有放弃数学研究，而是信心十足地探讨数学问题。1826年，阿贝尔到了法国。他把写成的长篇论文《论一个非常宽广的超越函数族》，托人转交给大数学家柯西，直到年底一直音讯杳然。
由于阿贝尔在国外受到冷遇和歧视，生活又没有保证，1827年，他只好回到挪威。回国并不意味着生活有了保障，等待他的仍然是穷困潦倒。
不久，阿贝尔在朋友的帮助下，到一所军事学院代课，生活稍有改善。由于贫穷就像老朋友一样始终没有离开过他，已经把他的身体折磨得越来越虚弱了，生命留给他的时间已经很少了。
阿贝尔抓紧最后的时间，拼命研究数学，又取得了一些成就。
1829年4月6日，这位年仅27岁的青年教学家逝世。
在阿贝尔短暂的一生中，他在数学的许多方面都取得了很有创见的成就。
首要的成就是，证明了五次方程不可能用一般数学方法求解，震动了整个数学界。
其次是彻底证明了二项式定理。
再次是创立了椭圆函数论，等等。
如果大数学家高斯、柯西等人在认真地看过阿贝尔的杰出论文后，为他说上一句话，就会使他摆脱贫困，而不至于英年早逝，那么阿贝尔将不知道要解决多少数学难题，数学发展的步伐就会大大加快。
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