小学数学课程与教学：儿童数学认知发展规律

虽然儿童的数学认知发展受生理、心理、环境以及教育等因素的影响，表现出较大的差异性，但是，总体上还是能显示出具有一般化的发展特征的。

按皮亚杰等的研究，小学儿童处于前运算阶段进入具体运算阶段并向形式运算阶段发展的心理时期中，已经初步建立了思维的两个最基本的逻辑原则。

第一，守恒性原则。一个学龄前的儿童，当将一些橘子从一个较小的容器搬到较大的容器后，他就会认为橘子减少了，因为这时的他还没有真正建立数的概念。而到了小学阶段，他们逐步建立了这种守恒的原则。例如，一个人向左走10步，再向右走10步，结果怎样？可能在开始时，有的儿童还要依托一些直观的方法（如摆小棋子），但是，他们已经能从空间的方位感和数的概念去理解结果了。

第二，可逆性。可逆性是理解并掌握数的概念以及进行逻辑运算的一个基本的条件，儿童能建立对“等式”的认识，能建立加法的规则，基础之一就是对可逆性的掌握。只有在这时，他们才会真正理解“7”可以分成“1”和“6”、“2”和“5”等，也知道把它们合起来还是“7”。

（一）儿童数学概念的发展

儿童的数学概念的发展主要体现在这样几个方面（详见第十章）：

1.从获得并建立初级概念为主发展到逐步理解并建立二级概念

一般来说，低年级的儿童，往往只能从具体的实际经验和实物出发，构建一些初级概念（也称之为一级概念），而对从已有的概念出发而构建二级概念还有些困难。但是，到了较高年级，他们有可能从具体的实际经验出发，通过把握概念的属性和本质特征的学习来获得一些新的概念（即建构二级概念）。

2.从认识概念的自身属性逐步发展到理解概念间的联系

在低年级的儿童，他们已经有可能构建一些数学概念，但往往还较多地单个识记这些概念，而对于概念之间的联系建立不足，表现在概念间的迁移水平较低。到了较高年级的儿童，已经开始有可能从概念间的属性特征去把握它们之间的联系，表现在数学概念的迁移水平逐步提高。

3.数学概念的建立受经验的干扰逐渐减弱

低年级的儿童在建立数学概念时，对经验的依赖较大，因此，也就常常容易受到经验的干扰，如在建立“垂直”概念时，就常常会受到“竖直”经验的干扰。到了较高年级，他们就有可能开始从概念的本质属性出发去理解，而经验的干扰逐渐开始减弱。

（二）儿童数学技能的发展

在小学数学学习阶段，数学技能学习是其中的一个重点，主要的目标就在于掌握运算的程序规则。而掌握运算程序规则并能进行熟练的演算，不仅仅是一种动作技能问题，也是一种心智技能的问题；不仅与学生训练的次数与方式有关，更与学生对这些程序性知识的认知策略相关。一般看来，儿童的数学技能发展表现出如下几个特征：

1.依赖结构完满的示范导向发展到依赖对内部意义的理解

低年级的儿童在规则学习时，通常主要依赖教师最初的结构完满的示范导向来形成意义的理解和程序的掌握，但是到了较高年级的儿童，他们在规则学习时，已开始较多地依赖对规则本身的理解，并在理解的基础上，通过教师必要的引导来形成完整的规则程序。

2.从外部的展开的思维发展到内部的压缩的思维

也即从主要依赖外部操作和语言活动的支持发展到主要依赖内部思维和操作活动的支持。通常认为，儿童的数学技能的智力活动是按这样的过程发展的^[9]：认识所要形成的活动的导向结构阶段（对教师结构完满的示范导向活动进行观察）→形成物化形态的活动阶段（学生按最初的示范导向进行初步的尝试）→形成外部语言的活动阶段（更多地运用语言来支持自己的智力活动）→形成内部语言的活动阶段（必要时，运用内部语言来支持个别成分的活动）→形成内在智力的活动阶段（活动已发展到外部难以观察到的一种自动化的过程，即数学技能的形成阶段）。从这样的活动过程看，儿童在最初的学习时，通常对外部的和展开的思考活动依赖较多，表现在更多地需要运用操作或语言来支持大部分的活动。

3.数感和符号感的逐步提高，支持着运算向灵活性、简洁性与多样性发展

低年级的儿童在学习那些运算的程序规则并形成自己的运算技能时，由于其对运算符号的意义和数字的特征等的感知还停留在初级阶段，因此，常只是依照教师最初的示范导向按部就班地进行演算。到了较高年级时，他们对符号的意义和数字特征的感知能力有了进一步的发展，在表征算式时，开始更多地思考演算的合理性、灵活性，开始尝试运用多种方式来解答，开始注重如何能又快又准确地解答题目。(www.xing528.com)

（三）儿童空间知觉能力的发展

空间知觉能力是建立空间概念的一个重要基础，儿童空间知觉能力的发展也有其明显的阶段性特征。

1.方位感是逐步建立的

有研究认为，儿童的方位感是逐步建立的^[10]，一个低年级的儿童，已经能建立关于“左”、“右”的方位感，但是，他们对一个主体镜像（如镜子里面的人）的“左”、“右”方位还不能有效地区分。而中、高年级的儿童，已经能逐步建立三维的方位感，能依据某些规则确定对象的空间位置。

2.空间概念的建立逐渐从外显特征的把握发展到从本质特征的把握

低年级的儿童在建立空间表象时，往往从图形的外显特点入手，从感知水平上通过描述的方式形成认识，但还不能真正从图形的内部本质特征去把握，如他们能准确指出长方形或正方形，但是对于长方形和正方形关系的真正理解还是有困难的。到了较高年级，儿童开始能从理解的水平通过定义的方式建立一些几何概念。

3.空间透视能力是逐步增强的

对儿童来说，最初的空间定位可能仅仅是一维的，即对物体的长短的一个估计，即便面对的是一个二维的图形或者是三维的物体，他们往往也只能作出一维的空间定位。经过一段时间的学习后，他们的空间透视能力开始逐步增强，能从不同的方位来判断物体的大小，尤其是到较高的年级，他们可能对“这个长方形是长长的”和“这个长方形比较大”这样的表述予以区别。

（四）儿童数学问题解决能力的发展

有学者认为，儿童数学问题解决能力的发展大致经历了以下四个阶段^[11]。

1.语言表述阶段

在这个阶段，儿童能依靠直观的情境作为支撑，利用已有的“认数”知识和简单的数的运算知识，对一些简单数量关系的求解做口头的解答。还不能真正区分背景的条件信息和问题信息，不能意识到自己解答问题的思考过程，更不能计划自己的思考。

2.理解结构阶段

在这个阶段，儿童已能大致理解数学问题的基本结构，区分问题情境中的条件信息和问题信息，能通过对运算意义的理解去掌握初步的数量关系，因此，对数学问题解决的思维自觉性有所增加。学习中，各种问题的结构模式和问题解决的图式开始逐步积累，并能在新的问题解决过程中去自觉地检索。

3.多级推理能力的形成

在这个阶段，儿童从运用直接推理的方式获得数学问题的解决发展到开始学习用多级推理的方式去解决数学问题，逐步学会了去寻找较为复杂的量之间的关系，对问题的基本结构作出一个较为准确的判断，他们的抽象思维能力得到了进一步的发展。

4.符号运算阶段

在这个阶段，儿童已不仅进行数值量的逻辑运算，而且开始逐步学习技能符号量的逻辑运算。即从量的逻辑推断运算发展到另一种逻辑运算序列——整体的等量分析运算，开始运用代数的方式，将未知量转化为一个由符号表示的已知量，在构建等量关系的基础上获得问题解决。这是儿童数学问题解决能力的又一个质的发展。