数学教学的真正意义：引导学生思维逻辑，培养智慧

张鹤认为，数学教学的主要问题在于，很多教师没有真正理解数学教学的意义——让学生的思维更有逻辑性，让学生更具智慧。如果数学教师只是以“知识”为目标，以考试成绩优异为目的进行教学，数学教学活动就变成了一种机械的训练、刻板的操作，数学教育的价值也就荡然无存了。

他经常用“椭圆几何性质”教学案例来说明这个问题：一位教师让学生在投影仪上展示自己在家庭作业中画的椭圆，有的椭圆比较标准，有的比较粗糙。之后，教师在电脑上演示椭圆的标准图形，并指出“要想画出标准的椭圆，就要研究椭圆的几何性质”。

看似正常的课程引入，在张鹤看来却是把课的方向引偏了：从图形入手，而不是从方程入手，大方向错了！因为平面解析几何的基本思想是用代数的方法解决几何问题。研究椭圆的几何性质，就是要依据椭圆标准方程的特征来研究椭圆的几何性质。因此，在引入时，要突出研究方程的意识，而不是观察椭圆的标准图形。只有引导学生通过方程而不是图形研究椭圆的几何性质，才是真正意义上的教学，而只有富有意义的教学才是有价值的。

他提出的改进建议是，该课的引入要依据平面解析几何的基本思想，可先引导学生分析一个具体的椭圆的标准方程，让学生分析方程的代数特点是什么，这些代数的特点又体现了几何的哪些特征。

张鹤把当前的数学教学分为两类。一类是“图解知识”的教学：上这种课的数学教师不能说不努力备课、不研究教材，但其教学目标总是停留在怎样把课本的概念讲得再清楚一些，满足于让学生记住结论、会用公式，并通过大量的练习让学生熟练掌握。但是“这样的课堂教学对数学本质的挖掘不够深刻，对数学思维的阐述不到位。做这样的教师的学生，很少能够感受到学习数学的快乐，因为不了解数学问题的本质是什么”。在长期的、反复的练习的基础上，学生也许会得到比较高的考试分数，但他们的数学思维水平未必有多大的提高。(www.xing528.com)

“图解知识”的教学方式关注解题的技巧，但缺乏对解决问题的思维方式的概括；强调知识的应用，而忽视知识的发生过程。这对学生的学习兴趣的培养是一种严重的损害。

另一种是“观念性教学”，即以数学问题为载体，教给学生数学的思维方式。这样的数学课充满了思维和逻辑的乐趣，能够让学生感受到数学的快乐。比如，平面解析几何是中学数学中独具特色的一门学科，其基本思想就是用代数方法解决几何问题。要做到这一点，关键是把几何对象，如直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等代数化，也就是在平面直角坐标系中建立它们的方程。然后，在代数化的基础上，进行代数运算，得到代数运算的结果，并从代数的结论中分析出几何的特征，得出几何的结论。

如果说“数学是思维的体操”，那么数学教师就是体操教练。张鹤认为，数学教师的责任绝不止于让学生数学考试得高分，如果有人这样认为的话，那是对数学教师职业的误解！数学考试得高分不是唯一的教学目的，让学生真正从内心喜欢思考、喜欢数学，学生的思维具有逻辑性才是数学教师的价值所在，这样的教学才是有意义的。“要教给学生观念性的数学，教师的任务是艰巨的！只有教给学生观念性的数学，教师的工作才是有意义的！”

在课堂上，他给自己的定位是：如果“讲”，就要讲出知识的逻辑性来，讲出知识背后的东西，将自己的认识、自己的困惑、自己的体会讲给学生，不是把知识强加给学生，而是和学生一起感受知识带给人们的快乐。