初中数学教学：由勾股定理探讨反思性学习

图3-2-9　邮票上的勾股定理

这张邮票上的图片大家是否熟悉(图3-2-9)？在我读初中的时候老师会用一个教具演示给我们看：如何将上面边长为3的小正方形和边长为4的小正方形的面积拼成下面一个边长为5的小正方形，由此引出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

20世纪90年代提倡让学生动手，学生小组拼拼图或是画画、量量、算算，验证直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。通过动手拼图，学生的兴趣自然提升了，可是否真的促进了学生数学思维能力的提升呢？似乎还未必如此，显然两个小正方形的小格子刚好能拼成一个大正方形，随便你怎么拼都可以成功，所以在这里的动手“体验”的成分远远大于探究的成分。另一方面“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”的猜想是老师提出的，学生做的“画画、量量、算算”的过程其实都是学生在老师的指令下完成的，学生只是被动地动手，而缺少主动地由情境提炼数学模型、归纳得出数学猜想、设计解决思路、验证并反思的过程，而且“画画、量量、算算”不仅有测量误差，如果不是整数手算还比较烦琐，由于一般这类操作都是验证型的，不存在多少悬念，对思维的挑战并不高。(www.xing528.com)

21世纪初有了“几何画板”软件，我带学生进入电脑房，通过画直角三角形，用几何画板的“测量”功能测量三边并计算其平方，拖动三角形的顶点观察数字的变化规律，对比任意非直角三角形，得出直角三角形的三边关系。这样似乎给了学生更多操作的主动权，学生的操作也突破了唯一的特殊情况，而可以得到更一般的结论猜想。可事实上学生的操作依然是藏在老师的预设之后，即为什么直角三角形的三边是平方和的关系而不是其他呢？

是否存在那样一种情境，可以让学生自己生成一种直角三角形三边关系的猜想？当我们回溯到数学起步之初，那时的人们是如何得到这一猜想的呢？从毕达哥拉斯的故事中，我获得了新的灵感。