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1.不等式选讲内容，在高考题中以选做的形式出现，难度一般不大，比较近三年的高考题，出现频率较高的有：解绝对值不等式，作含绝对值的函数图像，含参的绝对值恒成立有解问题，不等式证明等，方法多样，注重对学生数学核心素养的培养.
2.不等式选讲是新课标的新增内容，也是其选考内容.从能力要求上看，这部分主要考查学生了解不等式、应用不等式的能力，以及分析问题和解决问题的能力.
（1）考查含绝对值不等式的解法与含绝对值符号的函数的最值、恒成立问题.
（2）考查不等式的证明，会用综合法、分析法等证明不等式，往往难度不大，加以适当的训练是完全可以掌握的.
例题精析
【例1】（2017年全国Ⅲ卷理数）已知函数f（x）=|x+1|-|x-2|.
（1）求不等式f（x）≥1的解集.
（2）若不等式f（x）≥x2-x+m的解集非空，求m的取值范围.
▶ 解题指南
（1）对x的取值范围分段讨论得到x在不同区间上的函数表达式，每段分别求解不等式后对各段解集取并集，从而可得到原不等式的解集.
（2）依题设可将问题转化为求函数的x最大值，则只要m小于等于函数的最大值即可.结合（1）可得到函数g（x）的分段表达式，在每段上分别求函数的最大值，最后得到函数g（x）在整个实数集上的最大值，即可求得m的取值范围.
▶ 解析
（1）方法一（分类讨论法）：
当x＜-1时，f（x）≥1无解；
当-1≤x≤2时，由f（x）≥1，得2x-1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，由f（x）≥1，解得x＞2，所以f（x）≥1的解集为{x|x≥1}.
方法二（数形结合法）：
因为f（x）=|x-1|-|-x-2|≥1，画出函数f（x）的图像（见图9.1）.
图9.1
f（x）≥1的解集为{x|x≥1}.
（2）由由f（x）≥x2-x+m，得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x，而
规范解答
巩固提高
1.设函数f（x）=|2x+1|+|x-1|.
（1）画出y=f（x）的图像；(www.xing528.com)
（2）当x∈[0，+∞），f（x）≤ax+b，求a+b的最小值.
▶ 解题指南
（1）根据x的取值范围，去掉绝对值符号，即可得到f（x）的解析式，再根据解析式，即可画出f（x）的图像；
（2）根据题意y=ax+b的图像在f（x）图像上方，所以b≥2，a≥3，当a，b同时取最小值时，a+b最小.
2.设函数f（x）=5-|x+a|-|x-2|.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）≤1，求a的取值范围.
▶ 解题指南
（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集.
（2）先化简不等式|x+a|+|x-2|≥4，再根据绝对值三角不等式得到|x+a|+|x-2|的最小值，最后解不等式|a+2|≥4得a的取值范围.
3.已知函数f（x）=|x-a|+|x+1|.
（1）若a＝2，求不等式f（x）＞x+2的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，求实数a的取值范围.
▶ 解题指南
（1）若a=2，由绝对值不等式分数讨论得到最后的解.
（2）首先利用绝对值三角不等式求得f的最小值，然后根据不等式的解集不是空集得到关于a的不等式，再解不等式即可.
4.已知a，b，c均为正实数.
（1）若ab＋bc＋ca＝3，求证：a＋b＋c≥3.
（2）若a＋b＝1，求证：
▶ 解题指南
（1）要证明不等式成立，运用两边平方和不等式的性质，即可得到证明.
（2）运用分析法证明.要证a+b+c≥3，只需证明（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥9.
5.已知函数f（x）=|x-a|.
（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值.
（2）在第（1）问的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.
▶ 解题指南
（1）不等式f（x）≤3就是|x-a|≤3，求出它的解集，与{x|-1≤x≤5}相同，求实数a的值.
（2）在第（1）问的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，根据f（x）+f（x+5）的最小值大于等于m，可求实数m的取值范围.
6.已知函数f（x）=m-|2-x|，且f（x+2）＞0的解集为（-1，1）.
（1）求m的值.
（2）若正实数a，b，c满足a＋2b＋3c＝m，求
的最小值.
▶ 解题指南
（1）由f（x+2）＞0得|x|＜m，求出解集，利用f（x+2）＞0的解集（-1，1）求m的值.
（2）由（1）知，a+2b+3c=1，利用柯西不等式即可求
的最小值.
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