Heston模型在衍生品定价中的应用

建立BSM模型后，学者们对市场上的期权价格进行检验，发现BSM模型中标的资产的连续复利收益率服从正态分布的这个假设与市场上的真实情况并不吻合（Rubinstein（1985）[11]，Lamoureux and Lastrapes（1993）[12]）。之后，学者们将BSM模型中的波动率扩展为随机波动率（Hull and White（1987）[13]，Heston（1993）[3]）。其中，Heston（1993）[3]的模型较为一般化，它的形式为

而一个执行价格为K的普通看涨期权的价格必须通过傅立叶变换得到：

其中

上式中φ（u）为lnST的特征函数，F为标的资产的远期价格：

在Heston（1993）[3]的假设下，标的资产中含有两个风险源，一个风险源来自收益率，而另外一个风险源来自波动率。这样，运用伊藤引理可以发现，衍生品的价格服从的随机过程可以表示为：

与BSM模型类似，我们可以用一个组合把标的资产中的W1这个来自收益率的风险源对冲掉，即(https://www.xing528.com)

仔细观察上式，我们可以发现进行对冲后的组合仍然存在风险源W2，因此，组合就不能只获得无风险收益了，如果假设方差风险V的风险溢酬为（Breeden（1979）[14]，Heston（1993）[3]），则组合所获得的报酬应该为，也就是式（2.8）中的漂移项应等于，即

经过整理，我们可得

偏微分方程表明，当期权受到两种风险的影响时，期权与标的资产的组合不能完全将两个风险源完全对冲掉，因此，剩余的一个风险源将就其所对应的风险头寸要求一定的风险回报，在式（2.9）中即为，是随机波动率所对应的风险报酬。

由Heston（1993）[3]的随机波动率模型可知，当标的资产中隐含着两个或者两个以上的风险源时，完美的复制是不可能实现的，复制之后的头寸还隐含着其他风险的风险溢酬。

虽然通过对标的资产的对冲无法分散期权中隐含的其他风险源的风险，但是只要风险源是连续的扩散过程，期权的所有风险就可以通过期权组合进行对冲。关于这点，我们将在之后对模型风险的讨论中详细说明。