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抽签之谜:趣味数学教与学

时间:2023-08-07 理论教育 版权反馈
【摘要】:为了检查基本法律知识的普及面,规定全班同学都做准备,赛前由各小组用抽签的方式,随机决定参赛人选。“那这不是说他们抽到有记号签的可能性都是十分之一吗?”但小聪本人也无法说出一个所以然,他们决定第二天把这个关于抽签顺序的“谜”请教老师。“太好了,同学们,我想你们已经能够自己得出抽签之“谜”的谜底了!”亲爱的读者,可能你也猜到关于抽签顺序的谜底了。

抽签之谜:趣味数学教与学

班级决定举行法律知识竞赛,各小组出一名代表参加。为了检查基本法律知识的普及面,规定全班同学都做准备,赛前由各小组用抽签的方式,随机决定参赛人选。

比赛定在下午举行。上午放学路上,小聪、小明和小花三个同组的同学走在一起,边谈边议着下午竞赛的事。小朋对小聪说:

“你们比我们准备得都要充分,下午抽签你就先抽吧!”

“这跟抽签先后有什么关系?”

“啊!怎么没关系!先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会要大。”

“这也不一定!”在一旁听他们争论的小花冷不防插了一句。

“怎么会不一定!”小明急忙辩解,“第一人抽的时候,无论如何做记号的签纸还在,假如这张纸被第一个人抽去了,那后面的人就根本不用抽了。”

小明一边对小花说着,一边目光频频朝小聪看,似乎在寻找支持者。不料小花不甘示弱,语出惊人,说出了一番颇有份量的话:

“我看后抽的人抽到的可能性更大。比如我们组有10个人,做记号的签条只有一张,因此第一个抽到的可能性是img。由于img的概率是很小的,所以第一个人一般是难于抽到的。但对第二个人来说,这时只剩下九张签纸,其中包含了一张做有记号的,因此他抽到这张签纸的可能性是img。这比第一个抽到的img可能性要大些。如果前九个人都没有抽到的话,那么最后一个人抽到有记号签纸就是必然的了,这时抽到的概率还等于1呢!可不是!”

小明被小花一番有板有眼的话说得语塞,一时想不出什么更有力的论据,只是怀疑地反问:

“你说的都是别人抽不到有记号的答,如果别人抽到了呢?”

这时,刚才一直在思考的小聪,出乎意料地半路杀出一种观点来:“我看所有人抽到有记号的签的机会是一样的!”

“怎么?一样?”小明和小花异口同声地惊呼!这的确有点使人难以置信。小明一向佩服小聪,知道他没有相当把握是不会轻易作结论的,但这时也不禁满腹狐疑:

“要知道第一个人抽时有十张签纸,而最后一个人抽时只有一张签纸,事实上他抽不抽都无所谓,因为实际已经决定了的。他们抽到有记号签的机会能一样吗?”

“是的,我是这样认为的。”小聪不觉加重了语气。随着他问讯小明和小花,“全组有十个人,一个接一个地抽,抽到什么签假定大家暂时都不看,或者即使看了,也暂时不声张,那么每个人拿到有记号签的可能性有多大呢?”

“十分之一!”两人齐声回签,似乎有点不以为然。

“现在大家再去看抽的是什么签,这与抽签顺序及抽到签的内容会有影响吗?”小聪又一个问。

“当然没影响!”小明和小花又一次齐声答。

“那这不是说他们抽到有记号签的可能性都是十分之一吗?”小聪胸有成竹。

“?!”

真是绝妙的解析!小明和小花似乎为小聪的智慧所折服。真的,当初他们还以为这是“针尖对麦芒”式的抬杠呢!虽说如此,在他们的心里还是有点嘀咕:“抽签的人都是一抽到就看签纸的呀!”他们老感到这个前提有点蹊跷。但小聪本人也无法说出一个所以然,他们决定第二天把这个关于抽签顺序的“谜”请教老师。(www.xing528.com)

老师没有直接回答“谜底”,而是拿了一些围棋子,放入小布袋中,问大家:“假定袋里有m个白子和n个黑子,那么第一次摸到白子的可能性有多少呢?”

img”大家答。

“摸到黑子呢?”

“对!”老师肯定说,“现在假定这个已经摸出的棋子不放回去,那么袋里一共还有几个棋子?”

“有(m+n-1)个。”三人异口同声回答。

“如果这时大家从袋子里抽出一个白子的可能性是多少呢?”老师继续问。

三人全都陷入了沉思。到底是小聪反应快些,他说:“老师,我们还不知道第一次抽的是白子还是黑子呢?”

“很好!”老师赞许地点点头,“第一次可能抽到白子,也可能抽到黑子。”

“那么两种情况都要考虑对吗?”三人似有所悟。

“对极了,同学们。现在请你们拿张纸算一算吧!”

于是三个朋友围在小桌旁,边讨论边计算。跃在纸上的算式,清晰地描绘了以下的思路:

第一次如果摸到白子,那么袋子里剩下m-1个白子和n个黑子。此时去摸,又得白子的可能性为img

第一次如果摸到黑子,那么这时袋子里剩下m个白子和n-1个黑子。此时去摸,也得白子的可能性为img

注意到第一次摸到白子的可能性为img,摸到黑子的可能性为img,因此第二次摸到白子的总可能性是:

“老师,第二次摸到白子的可能性也是img。”三人为所得结论兴奋不已。

“那么第三次,第四次摸到白子的可能性呢?”老师再问。

“每次摸到白子的可能性都跟前一次是一样的,都应该等于img,”小聪推理地说,小明和小花也投以赞同的目光。

“太好了,同学们,我想你们已经能够自己得出抽签之“谜”的谜底了!”

亲爱的读者,可能你也猜到关于抽签顺序的谜底了。那么,你能说一说,小明、小花和小聪他们三人开始的结论,谁是对的呢?

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