命题关系及充分与必要条件解析

考点一　命题及其相互关系

【例1】解析　由f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则f′(x)=ex-m≥0恒成立,m≤1.故命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”是真命题,所以其逆否命题“若m＞1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题.

答案　D

【训练1】解析　“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0”,故选D.

答案　D

考点二　充分条件、必要条件的判断

【例2】解析　(1)f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)内单调递增等价于f(x)=0在区间(0,+∞)内无实根,即a=0或,也就是a≤0,故“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)内单调递增”的充要条件,故选C.

(2)因为a∥b,所以1×4-k2=0,即4=k2,所以k=±2.所以“a∥b”是“k=-2”的必要不充分条件.

答案　(1)C　(2)B

【训练2】解析　由sinφ=0可得φ=kπ(k∈Z),此为曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点的充要条件,故“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分不必要条件.

答案　A

考点三　充分条件、必要条件的探求

【例3】解析　(1)A={x|-1＜x＜2},B={x|-2＜x＜a},如图所示:

因A∩B≠∅,故a＞-1.

(2)因为有且只有一个零点的充要条件为a≤0或a＞1.由选项可知,使“a≤0或a＞1”成立的充分条件为选项D.

答案　(1)C　(2)D

答案　C

基础过关题

一、选择题

1.解析　同时否定原命题的条件和结论,所得命题就是它的否命题.

答案　A(https://www.xing528.com)

答案　A

3.解析　由于“x,y都是偶数”的否定表达是“x,y不都是偶数”,“x+y是偶数”的否定表达是“x+y不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”,故选C.

答案　C

0⇒/　x＞1.

答案　D

二、填空题

答案　①②

6.解析　当c2=0时,原命题不正确,故其逆否命题也不正确;逆命题为“若ac2＞bc2,则a＞b”,逆命题正确,则否命题也正确.

答案　2

能力提高题

一、选择题

1.解析　否命题既否定题设又否定结论,故选B.

答案　B

答案　A

二、填空题

3.解析　已知方程有根,由判别式Δ=16-4n≥0,解得n≤4,又n∈N∗.逐个分析,当n=1,2时,方程没有整数根;而当n=3时,方程有整数根1,3;当n=4时,方程有整数根2.

答案　3或4

直通高考

1.A　2.B