数学幂函数与二次函数的解析

考点一　幂函数的图像与性质的应用

考点二　二次函数的综合运用

【例2】审题路线　由f(0)=1求c→由f(x+1)-f(x)=2x比较系数求a,b→构造函数g(x)=f(x)-2x-m→求g(x)min→由g(x)min＞0可求m的范围.

解　(1)由f(0)=1,得c=1.故f(x)=ax2+bx+1.

又f(x+1)-f(x)=2x,

故a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,

因此,f(x)=x2-x+1.

(2)f(x)＞2x+m等价于x2-x+1＞2x+m,即x2-3x+1-m＞0,要使此不等式在[-1,1]上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.

因g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减,

故g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-1＞0得m＜-1.

因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).

基础过关题

选择题

答案　D

3.解析　当x≥0时,f(x)=x2+2x为增函数,由于f(x)是奇函数,故f(x)在R上为增函数.由f(2-a2)＞f(a)得2-a2＞a,解得-2＜a＜1.故实数a的取值范围是(-2,1).(www.xing528.com)

答案　C

4.解析　由选项A,C,D知,f(0)=c＜0.

知选项A,C错误,选项D符合要求.

由选项B知f(0)=c＞0,故ab＞0,故,则B错误.

答案　D

能力提高题

选择题

1.解析　当x＞1时,恒有f(x)＜x,即当x＞1时,函数f(x)=xα的图像在y=x的图像下方.作出幂函数f(x)=xα在第一象限的图像,由图像可知α＜1时满足题意,故选B.

答案　B

2.解析　由题意得,函数f(x)=-2x2+4x图像的对称轴为x=1,故当x=1时,函数取得最大值2.

因为函数的值域是[-6,2],令-2x2+4x=-6,可得x=-1或x=3,

所以-1≤m≤1,1≤n≤3,

所以0≤m+n≤4.

答案　B