考点一 定积分的计算
考点二 利用定积分求平面图形的面积
【例2】审题路线 (1)先求二次函数f(x)的解析式,再利用定积分的几何意义求面积.(2)先求交点坐标,确定积分区间,再利用定积分的几何意义求面积.
解析 (1)设f(x)=a(x+1)(x-1)(a＜0).
因为f(x)的图像过(0,1)点,所以-a=1,即a=-1.
得交点B(3,-1).
故所求面积
易错辨析——对定积分的几何意义理解不到位致误
答案 A
[错因] (1)不理解定积分的几何意义,导致不能将封闭图形的面积正确地用定积分表示.
(2)求错原函数,导致计算错误.
[正解] 作出曲线
,直线y=x-2的草图(如图所示),所求面积为阴影部分的面积.
基础过关题
能力提高题
直通高考
1.y=x+1
2.D
3.y=2x-2(www.xing528.com)
4.y=2x
5.-3
6.y=3x
7.C
8.D 9.解析 (1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).
①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)单调递增.
②若a＞0,则由f′(x)=0得x=lna.
当x∈(-∞,lna)时,f′(x)＜0;当x∈(lna,+∞)时,f′(x)＞0,所以f(x)在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增.
12.解析 (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).
(i)若a≤0,则f′(x)＜0,所以f(x)在(-∞,+∞)单调递减.
(ii)若a＞0,则由f′(x)=0得x=-lna.
当x∈(-∞,-lna)时,f′(x)＜0;当x∈(-lna,+∞)时,f′(x)＞0,所以f(x)在(-∞,-lna)单调递减,在(-lna,+∞)单调递增.
(2)(i)若a≤0,由(1)知,f(x)至多有一个零点.
(2)满足题设条件的a,b存在.
(i)当a≤0时,由(1)知,f(x)在[0,1]单调递增,所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)=b,最大值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.
(ii)当a≥3时,由(1)知,f(x)在[0,1]单调递减,所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)=b,最小值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.
综上,当且仅当a=0,b=-1或a=4,b=1时,f(x)在[0,1]的最小值为-1,最大值为1.
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