空间几何体的结构及三视图和直观图的解析

考点一　空间几何体的结构特征

【例1】

解析　①不一定,只有这两点的连线平行于轴时才是母线;②正确;③错误.当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥.如图所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.

答案　B

【训练1】解析　认识棱柱一般要从侧棱与底面垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析,故①③都不准确,②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明,故也不正确,④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行,故④也不正确.

答案　①②③④

考点二　由空间几何体的直观图识别三视图

【例2】审题路线　在空间直角坐标系中画出四面体⇒以zOx平面为投影面⇒可得正视图.

解析　在空间直角坐标系中,先画出四面体O-ABC的直观图,如图所示.设O(0,0,0),A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1),将以O,A,B,C为顶点的四面体还原成一正方体后,由于OA⊥BC,所以该几何体以zOx平面为投影面的正视图为A.

答案　A

【训练2】解析　由正视图的定义可知;点A,B,B1在后面的投影点分别是点D,C,C1,线段AN在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段CC1平行且相等的线段,即正视图为正方形,另外线段AM在后面的投影线要画成实线,被遮挡的线段DC1要画成虚线,正视图为②;同理可得侧视图为③,俯视图为④.

答案　B

考点三　由空间几何体的三视图还原直观图

【例3】解析　(1)由于俯视图是两个圆,所以排除A,B,C,故选D.

(2)A,B的正视图不符合要求,C的俯视图显然不符合要求,答案选D.

答案　(1)D　(2)D

【训练3】解析　所给选项中,A,C选项的正视图、俯视图不符合,D选项的侧视图不符合,只有选项B符合.

答案　B

易错辨析——三视图识图不准致误

【典例】[错解]　选A或D.

[错因]　根据提示观测位置确定三视图时,其实质是正投影,几何体中的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线为虚线,错选A或D都是因为对看到的轮廓线在面上的投影位置没有正确认识,从而导致失误.

[正解]　还原正方体后,将D1,D,A三点分别向正方体右侧面作垂线,D1A的投影为C1B,且为实线,B1C被遮挡应为虚线.故选B.

答案　B

【自主体验】解析　注意BE,BG在平面CDGF上的投影为实线,且由已知长度关系确定投影位置,排除A,C选项;观察B,D选项,侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影,则BG,BF的投影为虚线,故选D.

答案　D(www.xing528.com)

基础过关题

一、选择题

1.解析　A,B两选项中侧棱与底面不一定垂直,D选项中底面四边形不一定为正方形,故选C.

答案　C

2.解析　给几何体的各顶点标上字母,如图1所示.A,E在侧投影面上的投影重合,C,G在侧投影面上的投影重合,几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展开后的情形如图2所示,故正确选项为B(而不是A).

答案　B

3.解析　正方体的三视图都是正方形,不合题意;圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形,俯视图是圆,符合题意;三棱台的正视图和侧视图、俯视图各不相同,不合题意;正四棱锥的正视图和侧视图都是三角形,而俯视图是正方形,符合题意,所以②④正确.

答案　D

4.解析　若该几何体的俯视图是选项A,则其体积为1,不满足题意;由正视图、侧视图可知俯视图不可能是选项B;若该几何体的俯视图是选项C,则其体积为,不符合题意;若该几何体的俯视图是选项D,则其体积为,满足题意.

答案　D

二、填空题

5.解析　①正确;由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知②正确;但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直,故③错;④正确;⑤中原图形中相等的线段在直观图中不一定相等,故错误.

答案　①②④

6.解析　显然,三棱锥、圆锥的正视图可以是三角形;三棱柱的正视图也可以是三角形(把三棱柱放倒,使一侧面贴在地面上,并让其底面面对观察者,如图所示);只要形状合适、摆放适当(如一个侧面正对着观察者的正四棱锥),四棱锥的正视图也可以是三角形(当然,不是任意摆放的四棱锥的正视图都是三角形),即正视图为三角形的几何体完全有可能是四棱锥;不论四棱柱、圆柱如何摆放,正视图都不可能是三角形(可以验证,随意摆放的任意四棱柱的正视图都是四边形,圆柱的正视图可以是圆或四边形).综上所述,应选①②③⑤.

答案　①②③⑤

7.解析　作DE⊥AB于E,CF⊥AB于F,则AE=BF=ADcos45°=1,故CD=EF=3.将原图复原,则原四边形应为直角梯形,∠A=90°,AB=5,CD=3,AD=,故

答案　

能力提高题

选择题

1.解析　球的正视图、侧视图和俯视图均为圆,且形状相同、大小相等;三棱锥的正视图、侧视图和俯视图可以为全等三角形;正方体的正视图、侧视图和俯视图可以为形状相同、大小相等的正方形;圆柱的正视图、侧视图均为矩形,俯视图为圆.

答案　D

2.解析　根据斜二测画法画平面图形直观图的规则,可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是,本题中直观图的面积为a2,所以原平面四边形的面积等于

答案　B