高中数学思想方法：换元法研究函数对应关系

函数的对应关系其实就是一套输入输出的程序，利用换元法可以使题目条件得到简化，更加清晰地发现其中的对应规则.

例10 （1）已知函数f（x）的定义域为R，若f（2x-3）=2x-4x2，则f（x）=_________.

（2）定义在（-1，1）内的函数f（x）满足2f（x）-f（-x）=lg（x+1），则f（x）=_________.

探究：这是一组求函数解析式的题目，通过换元求函数解析式或者通过换元构造方程组求解析式是最常见的方法.

（1）令t=2x-3，则

所以，即f（x）=-x2-5x-6.

（2）在2f（x）-f（-x）=lg（x+1）中，将x换成-x，则-x换成x，得2f（-x）-f（x）=lg（-x+1）.

由

解得

例11 （1）设f（x）是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f（10+x）=f（10-x），f（20-x）=-f（20+x），则f（x）是（ ）.

A.偶函数，又是周期函数 B.偶函数，但不是周期函数

C.奇函数，又是周期函数 D.奇函数，但不是周期函数

探究：将题中两个等式相结合，运用变量代换的方法，不断运用这两个条件的程序性，对照可能的结论：周期函数f（x）=f（40+x），奇函数f（-x）=-f（x），不断试错，去伪存真.发展第二条件的时候，尽量和第一条件结合，这样的发展才可能推陈出新.

因为f（20-x）=f[10+（10-x）]=f[10-（10-x）]=f（x）=-f（20+x），

所以f（20+x）=-f（x），所以f（40+x）=f[20+（20+x）]=-f（20+x）=f（x），

所以f（x）是周期T=40的周期函数.

又因为f（-x）=f（40-x）=f[20+（20-x）]=-f[20-（20-x）]=-f（x），

所以f（x）是奇函数，故选C.

说明：本题给出满足两个等式的抽象函数，要求研究函数的周期性和奇偶性，着重考查函数的对应关系和抽象函数的应用等知识.采用整体代换，往往能发现其中的本质规律.

反复利用某一条件发展另一个条件，甚至每个条件都被使用了两次以上，使用条件达到充分的地步！

（2）设f（x）是定义在实数集R上的函数，且其图象既关于直线x=10对称又关于点（20，0）中心对称，判断并证明f（x）奇偶性和周期性.

探究：这道题就是上一问题的几何表述.答案完全相同.(www.xing528.com)

（3）设f（x）是定义在实数集R上的函数，且其图象既关于直线x=1对称又关于直线x=2对称，判断并证明f（x）奇偶性和周期性.

探究：由条件可得f（1+x）=f（1-x），f（2-x）=f（2+x）.

因为f（2-x）=f[1+（1-x）]=f[1-（1-x）]=f（x）=f（2+x），

所以f（2+x）=f（x），所以f（x）是周期T=2的周期函数.

又因为f（-x）=f（2-x）=f[1+（1-x）]=f[1-（1-x）]=f（x），

所以f（x）是偶函数.

（4）设f（x）是定义在实数集R上的函数，且其图象既关于点（1，0）中心对称又关于点（2，0）中心对称，判断并证明f（x）奇偶性和周期性.

探究：由条件可得f（1+x）=-f（1-x），f（2-x）=-f（2+x）.

因为f（2-x）=f[1+（1-x）]=-f[1-（1-x）]=-f（x）=-f（2+x），

所以f（2+x）=f（x），所以f（x）是周期T=2的周期函数.

又因为f（-x）=f（2-x）=f[1+（1-x）]=-f[1-（1-x）]=-f（x），

所以f（x）是奇函数.

（5）定义在R上的函数f（x）的图象关于点对称，且满足f（x），则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）=_________.

探究：可以类比一下，若f（x）=cosx，则有“其图象关于点中心对称且f（x+π）=-f（x）”，而f（x）=cosx，是以2π为周期的偶函数，所以我们有理由猜想：该题中，f（x）是周期为3的偶函数.

与上面问题一样，由容易得到f（x+3）=f（x）.f（x）是周期为3的周期函数.

因为f（x）的图象关于点对称，所以

即f（x）为偶函数.

f（1）=1，f（2）=f（-1）=f（1）=1，f（3）=f（0）=-2，即f（1）+f（2）+f（3）=0.

又，所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）=0.

说明：整体代换展示了函数对应关系的程序性，不断发展条件，朝着结论的方向前进，不断提升数学研究的自觉意识和目标意识，这就是辩证思维.

通过对上面问题的研究，我们是否可以得到结论：双对称的函数一定具备奇偶性和周期性？“双对称”的意思是指某一函数有两条对称轴或者两个对称中心或者有一条对称轴一个对称中心.