高中数学思想方法：充分利用条件，恰当转化结论

数学归纳法之所以比其他方法简单有效，是因为它比其他证明方法多了一个条件——归纳假设.所以，做好归纳假设，写出其具体形式，在n=k+1的表达式中，尽量分离出归纳假设的结构并加以应用，这就是数学归纳法成功的关键所在.

不仅仅假设n=k时命题成立，而且要把它的具体结构写出来，最好能作进一步的简化，同时把n=k+1时要证的结论的具体形式也写出来.只有这样，才能在第一时间发现二者的联系.通过二者的对照分析，不仅可以明确知道n=k的运用方向，而且也能使得n=k+1时的结论得以真正有效的转化，发展条件的时候能够关注到结论的需要，转化结论的时候能够使条件真正发挥作用.条件结论兼顾是数学思维的辩证法.

例4 对任意正整数n，求证：n3+（n+1）3+（n+2）3总能被9整除.

探究：（1）当n=1时，1+8+27=36能被9整除.

（2）假设n=k时命题成立，即k3+（k+1）3+（k+2）3能被9整除.

令k3+（k+1）3+（k+2）3=9M，

则n=k+1时（k+1）3+（k+2）3+（k+3）3=k3+（k+1）3+（k+2）3+9k2+27k+27

=9M+9k2+27k+27=9（M+k2+3k+3），显然能被9整除，

所以，对任意正整数n，n3+（n+1）3+（n+2）3总能被9整除.

说明：我们在归纳假设中，不仅假设n=k时命题成立，即k3+（k+1）3+（k+2）3能被9整除，而且还作了进一步的简化：令k3+（k+1）3+（k+2）3=9M，在n=k+1的表达式中分离出这种结构，代之以9M，问题便迎刃而解.

例5 对任意正整数n，证明：x2n-1+y2n-1总能被x+y整除.

探究：（1）n=1时，能被x+y整除.

（2）假设n=k时命题成立，即x2k-1+y2k-1能被x+y整除，令x2k-1+y2k-1=M（x+y）（M为关于x，y的整式），

则n=k+1时，原式=x2k+1+y2k+1=x2k-1·x2+y2k-1·y2(www.xing528.com)

=x2k-1·x2+y2k-1·x2-y2k-1·x2+y2k-1·y2

=(x2k-1+y2k-1)·x2+y2k-1(y-x)(y+x)，

=M（x+y）x2+y2k-1（y-x）（y+x），能被x+y整除，

所以对任意正整数n，x2n-1+y2n-1总能被x+y整除.

说明：M的设定和上一题是一样的，稍微困难的是在n=k+1的结构中，配凑出M和x+y的结构来.

例6 证明：

探究：应该注意到不等式的左边一共有n项.

n=2时，左边=，不等式成立.

假设n=k（k≥2）时不等式成立，即

则n=k+1时，

所以，原命题成立，所以不等式对任意的n∈N，n≥2都成立.

说明：针对“n=k+1”的表达式，通过添项和减项，促使结论向条件的转化，使之配凑成“n=k”的形式，条件和结论如果结合起来，问题便接近尾声了.