此课题属于数学学科内部知识综合的课题，课题源于人教版初中数学八年级上册“最短路径”问题。此课题无论是从知识上还是从培养学生的数学应用意识上来讲，都是非常重要的一个课题。在初中数学几何知识中，大家都知道“两点之间线段最短”这一基本事实，在现实生活中也会遇到最短距离的问题，这就建立了数学知识与现实生活的联系，从现实生活提出问题，应用数学知识解决问题，将数学与生活有机地结合。
【教学准备】
1.教学内容分析
本课题是在学生学习了轴对称变换以及两点之间线段最短等相关知识后安排的一节“综合与实践”活动课，以“将军饮马”历史小故事引入新课，借助此问题进行变式，达到对经典几何“最短路径”课题研究的目的。在解决问题的过程中，体会转化的数学思想方法，进一步获得数学活动的经验，增强数学应用意识，体会数学的文化价值。
2.学情分析
八年级的学生对几何作图问题已有初步的接触，学习了一些基本的几何事实，知道两点之间线段最短。在学习本节活动课之前，学生基本上会应用轴对称原理进行简单的作图，熟悉了轴对称变换的性质以及学习了点到直线上时垂线段最短这一结论，并能够应用转化思想，将复杂的问题进行转化。学生对于数学文化很感兴趣，喜欢听一些关于数学史的小故事，有较强的学习积极性，具备一定的自主探究意识。
3.教学目标
经历从“将军饮马”问题中发现并抽象出数学问题的过程，学习初中几何数学学习中第一个求最值的问题——“最短路径”问题；能通过轴对称变换，利用两点之间线段最短问题或者三角形中三边关系，解决简单的最短路径问题，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强数学应用意识。
4.教学重难点
教学重点：从“将军饮马”这个历史小故事中发现数学问题，并能够利用转化，将问题简单化，从而解决实际问题。
教学难点：将求几条线段和最小的问题，利用轴对称、平移、旋转等变换，转换成“两点之间线段最短”问题。
5.教学手段及准备
教学课件。
【教学过程设计】
（一）环节一：发现并提出问题
1.创设问题情境，提出要求
根据一个传说，在古希腊亚历山大里亚城的城堡中，生活着一位非常闻名的智者——Helen。有一天，一位将军千里迢迢前来拜访他，求教一个困扰他很久的问题：他每天要从军营A地出发，去一条笔直的河边，饮他的战马之后，再去军营B地开会，其中两个军营在河岸同侧，他怎样选择河边饮马的位置，才可能使他尽可能少走路？Helen听过将军的描述后，经过思考，利用数学知识中轴对称变换，很快解决了将军的难题。这个问题后来被广为流传，史称“将军饮马”问题。
通过以上故事的讲述，将这个小故事抽象成数学问题。
师生活动：教师讲述故事并演示PPT，并提出问题，学生观察并思考问题。
2.提出并弄清问题
（1）抽象出数学问题
将“将军饮马”问题转化成数学问题：将A，B两地设为两个独立的点，将河L看作一条直线，试分析，如何在直线L上找到一点C，能使AC与BC的和是最小的？
用数学语言表述为：
问题①：如图10-10所示，在直线L同侧有两个点A，B，怎样在直线L上找到一点C，使AC与BC的和最小？
图10-10 示意图
（2）分析问题
“将军饮马”问题抽象成数学问题，就转换成求线段长的最值问题。对这个问题进行分析、类比，提出以下问题：
问题②：如图10-11所示，在直线L异侧有两个点A，B，怎样在直线上找到一点C，使得AC与BC的和最小？
(https://www.xing528.com)
图10-11 示意图
师生活动：学生在教师的引导下，从数学历史小故事中抽象出数学问题，并在教师的引导下进行尝试，提出相关问题。学生尝试用规范的数学语言进行描述。分析问题时，教师根据学生的反应确定教学方式，可让学生自主研究，再组织各小组展开讨论。对可能通过类比问题①，再提出问题②的学生，进行适时的鼓励与表扬。
设计意图：以“将军饮马”这个历史背景故事导入，能够激发学生学习数学的欲望。一方面，让学生体会到生活中处处用得着数学，并不总是那么遥不可及，而是与我们生活息息相关；另一方面，又能降低学生的畏难心理，从而激发学生探究欲望和学习动力。从现实问题中抽象出数学问题的过程中，锻炼了学生的问题意识，引导学生用规范的数学语言表述问题，培养了学生严谨的数学思维。尝试提出问题的过程中，学生的创新意识也得到锻炼。
（二）环节二：分析并解决问题
1.分析问题
问题②相对来说比较简单，可以让学生自己独立思考，直接根据“两点之间线段最短”来进行作图，而问题①需要通过轴对称的变化，应用轴对称的性质来解答，故可在此处安排几何画板的验证，然后再进行严格的数学证明，体会数学严谨的思维。
2.解决问题
（1）求解问题②
师生活动：学生独立思考后，根据两点之间线段最短，直接连接A，B，与直线L相交于点C，解决问题②。之后，学生归纳，两点在直线异侧时，求两点与直线距离最短时的作图方法：只需连接直线异侧的两点，与直线的交点即为所求（解法如图10-12所示）。
图10-12 示意图
（2）求解问题①
师生活动：学生先尝试独立思考，然后在小组内部讨论，提出解决方案，应用轴对称作图形的变换，然后再根据三角形三边关系——两边之和大于第三边，进行作图求解。得出结论之后，可以用几何画板作图，再找几个其他点，验证结论的可靠性。最后，学生书写证明过程。
在解决完问题①时，教师可以进行适当的拓展。
问题③（造桥选址问题）的具体描述如下：
A，B两个村庄被一条河隔开了，两岸的村民想要在河上修建一个大桥，以方便村民的生活需求。经过村民们的商讨，这座大桥要满足的修建条件是，使村庄A经过大桥到达B村庄所走的路程最短，请同学们根据刚才所学，给村民们想想办法，将大桥修在何处呢？
此问题是“将军饮马”问题的延伸，引导学生将河流抽象成两条平行线，将桥抽象成线段CD，再应用“将军饮马”问题的结论，进行求解。此部分可以要求同学间合作完成，派出学生代表主动展示学习成果。
3.应用
在一次英国锦标赛中，我国斯诺克台球比赛选手遇到了一个难打的球，如图10-13所示，红球B与白球A之间有一个绿球C，如何通过击打白球A而不触碰球C，撞击上球B？
图10-13 示意图
师生活动：教师出示拓展问题，学生独立思考、交流，并进行解答。
教师继续出示图10-14，要求学生根据图编制一道数学问题，并尝试课下解决。
图10-14 示意图
设计意图：分析并解决问题部分，通过分析问题，根据问题的难易程度，采取了不同的学习方式，确定了解决问题的顺序：问题②→问题①→问题③。实际上，问题③很有难度，学生解决起来有很大困难，这时要发挥小组合作的作用，教师适时点拨。教师在学习活动中只起到引导作用，激励学生主动参与课堂。在亲身体会到数学知识的发生、发展过程中，学生独立思考或小组合作，进行成果展示。这不仅培养了他们发现问题的能力，又逐步渗透了转化思想，而且锻炼了他们的表达能力，积累了数学活动经验。
（三）环节三：总结并反思问题
课上反思回顾，课后让学生以“将军饮马”问题为素材，写一篇学习体会，可以写参加此次活动的感受、同学之间的合作，也可以写本活动的拓展延伸，还可以写本活动中的疑问。
师生活动：教师引导学生对本节活动课进行回顾，主要说明本节课解决问题的过程，同时让学生谈论学习所得，而小组长对本节课小组成员的表现进行评价，记录员上交活动记录表。
设计意图：使学生在回顾本节活动课所学知识，整理研究思路过程的同时，重新将知识系统化，纳入已有的认知结构中，有意识地培养学生的创新意识，在反思的基础上进行创新。同时，让学生有意识地整理解决问题的思路，强调知识间的综合，强调选择解决问题的策略，积累数学活动经验。
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