半域是一种代数系统，本书将其作为描述判断矩阵的数学工具。先介绍半群和群的概念，然后介绍半域，它们都属于代数系统。一个非空集合以及建立在其上的运算一起就构成了一个代数系统。
定义2.1［39］一个半群代数系统〈S，°〉是由集合S以及建立在其上的二元运算°组成的二元组，其中°是可结合的。
定义2.2［39］一个群代数系统〈S，°〉是由集合S以及建立在其上的二元运算°组成的二元组，其中°是可结合的，存在幺元e∈S（幺元含义为：∃e∈S（∀x∈S（e°x＝x°e＝x））），且每个元素在S中都有逆元（逆元含义为：∀x∈S（∃x-1∈S（x°x-1＝x-1°x＝e）））。
如果半群／群的运算是可交换的，则称其为阿贝尔半群／群。
定义2.3［40］一个半域代数系统〈S，⊕，⊗，e〉是由集合S、建立在其上的两个二元运算⊕和⊗（分别称为加法和乘法）以及乘法幺元e组成的四元组，对∀a，b，c∈S，满足如下的性质：
（1）〈S，⊕〉是一个阿贝尔半群：
①a⊕b＝b⊕a（交换律）。
②a⊕（b⊕c）＝（a⊕b）⊕c（结合律）。
（2）〈S，⊗〉是一个阿贝尔群，幺元为e：
①a⊗b＝b⊗a（交换律）。(https://www.xing528.com)
②a⊗（b⊗c）＝（a⊗b）⊗c（结合律）。
③a⊗e＝e⊗a＝a（幺元）。
④a⊗a-1＝a-1⊗a＝e（逆元）。
（3）左乘和右乘对加法的分配律：
①a⊗（b⊕c）＝（a⊗b）⊕（a⊗c）。
②（a⊕b）⊗c＝（a⊗c）⊕（b⊗c）。
通常，记⊕na＝a⊕…⊕a和⊗na＝a⊗…⊗a。一个简单的半域的例子，是集合（0，+
）以及建立在其上的普通加法和乘法一起构成的代数系统。
类似于在普通线性代数中，在半域上也可以定义矩阵之间的相乘运算
和在半域上的加权平均
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