实用数学：正弦函数性质概述

由单位圆中的正弦线得正弦函数的性质：

（1）值域：［-1，1］

当y＝＋2kπ，k∈Z时，y＝sinx取得最大值1；即ymax＝1；当y＝＋2kπ，k∈Z时，y＝sinx取得最小值-1，即ymin＝-1.

（2）周期性

定义：对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x的值，都满足f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

对于一个周期函数f（x），如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.

结论：正弦函数是一个周期函数，2kπ（k∈Z，且k≠0）都是它的周期，2π是其最小正周期.

（3）奇偶性

由公式sin（-x）＝-sinx得知，正弦函数是奇函数，图像关于坐标原点对称.

（4）单调性

正弦函数在闭区间上是增函数；

在闭区间上是减函数.

例2　求函数y＝2＋sinx取最大值和最小值的x的集合，并求这个函数的最大值、最小值和周期.

解　因为函数y＝sinx分别取最大值与最小值的x，就是函数y＝2＋sinx分别取最大值、最小值的x，所以函数y＝2＋sinx取最大值、最小值的x集合分别为：

例3　不求值，比较下列各组正弦值的大小：(www.xing528.com)

练习

1.求下列各函数的最大值、最小值和周期：

（1）y＝3＋sinx；（2）y＝3-sinx；

（3）y＝-8＋sinx；（4）y＝-8-sinx.

2求y＝5-sinx分别取最大值及最小值的x的集合.

3.不求值，比较下列各题中两个正弦值的大小：

（1）sin250°与sin260°；

（2）sin（-）与sin（-）.

4.利用单位圆中的正弦线.作y＝sinx，x∈[-π，π]的图像.

5.分别作函数y＝sinx-1，y＝-sinx，x∈[0，2π]的简图.

6.观察正弦曲线，写出满足下列条件的x所在区间：

（1）sinx＞0；（2）sinx＜0；（3）sinx＞；（4）sinx＜-.

7.作函数y＝2sinx，x∈［0，2π］的图像.

8.说明函数y＝sinx与y＝-sinx，y＝3＋sinx图像间的关系.