余弦函数性质详解-实用数学

由单位圆中的余弦线或余弦函数图像，可得余弦函数的性质：

（1）值域：［-1，1］

当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；

当x＝（2k＋1）π，k∈Z时，ymin＝-1.

（2）周期性

余弦函数是一个周期函数，2π，4π，…，-2π，-4π，…，2kπ（k∈Z且k≠0），都是它的周期，2π是其最小正周期.

（3）奇偶性

由公式cos（-x）＝cosx得知，余弦函数是偶函数，图像关于y轴对称.

（4）单调性

余弦函数在闭区间［（2k-1）π，2kπ］（k∈Z）上，是增函数；

在闭区间［2kπ，（2k＋1）π］（k∈Z）上是减函数.

例1　求下列函数的最大值、最小值和周期.

（1）y＝5cosx；（2）y＝-8cos（-x）.

解　（1）ymax＝5，ymin＝-5，T＝2π；

（2）ymax＝8，ymin＝-8，T＝2π.(www.xing528.com)

例2　不求值，比较下列各对余弦值的大小：

（1）；

（2）.

解　（1）因为π＜﹤2π，且函数y＝cosx在区间［π，2π］上是增函数，所以.

（2）因为余弦函数是偶函数，所以

练习

1.求下列各函数的最大值、最小值和周期：

（1）y＝2cosx；（2）y＝-5cos（-x）.

2.在长度为一个周期的闭区间上，作下列函数的简图：

（1）y＝1＋cosx；（2）y＝2cosx.

3.叙述余弦函数y＝cosx在区间［0，2］上的增减性.

4.不查表，比较下列各组余弦值的大小：

（1）cos515°和cos530°；（2）cos和cos.