实用数学：直线方程的几种形式

下面我们要来学习探讨直线方程的几种形式.

我们知道任意给定一个角α（0≤α＜180），都可以作出无数条直线，使得它们的倾斜角为α.由倾斜角和斜率的关系式k＝tanα可知，倾斜角相同的直线，斜率也相等.所以，只是给定斜率，不能确定一条直线.

一般地，给定实数k和定点P0（x0，y0），通过点P0且斜率为k的直线l是确定的.

设点P（x，y）是直线上不同于点P0的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得

可化为：y-y0＝k（x-x0）.

把上式叫做直线的点斜式方程.即：

y-y0＝k（x-x0）.

一条直线，如果与y轴交于点（0，b），则称这条直线在y轴上的截距为b.由直线的点斜式方程为

y-b＝k（x-0）即y＝kx＋b；

把上式叫做直线的斜截式方程.即：

y＝kx＋b；

例1　求下列直线的方程：

（1）过点（0，0），斜率为2；（2）过点（4，5），斜率为1；

（3）过点（5，5），倾斜角为0；（4）过点（1，2），倾斜角为30；

（5）截距为-3，倾斜角为45.

解　（1）直线的方程为y-0＝2（x-0），即y＝2x；

（2）直线的方程为y-5＝1×（x-4），即y＝x＋1；

（3）直线的斜率为k＝tan0＝0，因此方程为y-5＝0×（x-5），即y＝5.

（4）直线的斜率为k＝tan30＝，因此方程为y-2＝×（x-1），即y＝；

（5）直线的斜率为k＝tan45＝1，因此方程为y＝1×x＋（-3），即y＝x-3.(www.xing528.com)

例2　求下列直线的方程：

（1）过点（0，0）和（1，5）；（2）过点（5，0）和（0，6）.

解　（1）直线的斜率

所以直线方程为y-0＝5×（x-0），即

y＝5x；

（2）直线的斜率

所以由直线的斜截式方程得：

练习

1.根据下列条件求直线的方程：

（1）过点（-3，2），斜率为3；

（2）过点（3，0），斜率为；

（3）过点（-3，1），倾斜角为135°；

（4）过点（0，5），倾斜角为120；

（5）过点（2，-2）和（4，-3）；

（6）过点（0，-1）和（-2，0）.

2.已知ABC的三个顶点A（1，2），B（2，4），C（-2，6）：

（1）求直线AB的方程；

（2）求BC的中点D的坐标及BC边上中线AD的方程.