小学数学教学：上课乃基本形式，落实学生目标

上课是整个教学工作的中心环节，也是小学数学教学的基本形式。小学生三维目标的落实，是通过课堂教学这个主渠道来实现的。教学有法，而无定法，有效的课堂教学依赖于教师自身的素养及在上课前的充分准备。

要想上好课，必须掌握课堂教学的基本类型以及课堂教学的基本要求。

（一）小学数学课堂教学的基本类型

小学数学课堂教学的基本类型有：新授课、练习课、复习课、检查课和讲评课等。

1.新授课

新授课是以小学生学习新知识为主要任务的课，是小学数学教学中最常用的课。它的一般结构如下：

（1）复习。复习上一节课或前面学过的知识与技能，一是巩固，二是为新授课的导入做铺垫。

（2）导入。导入新课是小学数学课必不可少的环节，从此引出新知识，揭示新课题。良好的新课导入，能迅速激发学生的学习兴趣，从而使学生进入最佳的学习状态。常见的导入方式有：以旧引新，注重新旧知识联系的导入；注重情感态度，激发学习兴趣的导入；注重生活经验，创设情景的导入；利用学生的好奇心，设置悬念的导入等。

（3）学习新知识。这是新授课的主要部分。教师要向学生阐明教学目标，运用恰当的教学方法，采用多种教学手段，设计优质的数学活动，使学生理解新知识、掌握新知识和运用新知识，以达到教学目标的实现。

（4）巩固练习。为了巩固新学的知识与技能，教师必须设置不同难易程度的练习题。注意：练习题不宜太多。

（5）课堂作业。小学生必须有课堂作业，课堂作业的设置，应有层次性，教师应及时了解学生的课堂作业情况，并进行点拨，最后进行必要的作业讲解与小结。这样，可以检查当堂课的教学效果，也可以为以后的教学提供参考。

（6）课堂小结与布置课外作业。课堂小结是把本堂课所学的知识与技能有重点地进行简要总结，把过程与方法进行简要梳理，使学生得到美的享受，以激起学生对下一堂课的强烈渴望。最后，要留给学生适量的课外作业（第一学段的学生一般不留课外作业）。

【案例3】

新授课教案

课题：《克和千克》

教学内容：西师版教材22—24页例1—例4

教学目的：

1.在活动中体验感知1克、1千克物体的质量，初步建立克、千克的概念。

2.通过验证让学生知道克、千克的意义以及1千克=1000克。

3.会根据具体物体选择恰当的质量单位。

4.培养学生操作和实际应用的能力。

教学过程：

一、创设情境

同学们，你们逛过超市吗？今天，老师想和大家一起去逛超市，愿意吗？现在请大家随老师到超市里去看一看。请大家看大屏幕，我要看哪个小朋友观察得最仔细，通过观察看谁能发现问题。

（课件展示：超市外景，内部浏览，两个小朋友走向货架，分别拿起这个看一看，拿起那个看一看，然后，一个小孩拿饼干，另一个小孩拿奶粉，画面拉近，突出“净含量125克”字样，继续慢慢移动，琳琅满目的瓜果柜台：香蕉、苹果、西瓜、香梨——然后，镜头拉近，出现标签）（镜头静止到价格标签上）香蕉4元∕千克、哈密瓜6元∕500克、香梨3元∕千克。

师：下面请同学们说说，你看到了什么？这个4元、6元、3元都表示商品价格，这些表示商品价格的元、角、分都是我们学过的货币单位，那500克、1千克又表示什么？克、千克又是什么单位呢？谁知道？

师：严格地说，应该说成是表示物体的质量，它们是质量单位。今天，我们就来研究，认识两个质量单位：克，千克。板书：“克和千克”。

师：“克”用字母g表示；“千克”用字母kg表示。

二、充分活动，体验感知

1.猜一猜：让学生看着盘子里的物品（梨、苹果）猜猜哪个轻哪个重。

师：现在讲台上的盘子里有一个梨和一个苹果，谁来猜一猜谁重谁轻？看来通过猜一猜很难确定谁重谁轻。

2.掂一掂：感受物体有轻有重，并判断最轻的和最重的。

师：猜一猜很难确定谁重谁轻，那我们来掂一掂，看通过掂一掂能不能感受出谁重谁轻。看来通过掂一掂能初步感受出谁重谁轻。

3.比一比：到底谁轻谁重。

师：到底谁轻谁重呢？现在我们来验证一下，老师讲台上有个托盘天平，你能利用它准确判断谁轻谁重吗？你是怎样来辨别的？

师：托盘天平有个特性，如果左右两边重量相等，天平保持平衡，重的一边下沉，轻的一边上翘。

师：现在，谁轻谁重已经知道了，究竟梨比苹果重多少呢？现在我们还不知道，你有什么办法知道梨比苹果重多少？（用秤称。）这个主意不错，老师今天给你们带来了一种秤，它叫电子秤。

4.称一称：认识秤、克、千克。

（1）电子秤。

（2）称梨与苹果的质量并比出重多少。

（3）感知1克。

（4）称两分的硬币。

师：刚才我们一起称了梨和苹果的质量，现在老师这里有一个两分的硬币，谁来估计一下它的质量？看来意见不统一，现在我们来称一称，看看它究竟有多重。喔，原来两分的硬币重1克。

A感受1克（掂1克的硬币），说感受。

师：有的物品放在手里沉甸甸的，1克的2分硬币放在手里有什么感觉呢？请大家以小组为单位轮流掂一掂，闭上眼睛感受一下。掂后说一说感受。掂一掂、估一估、称一称（橡皮擦、牙刷、糖、铅笔、作业本、50粒玉米、数学书、文具盒）。

师：大家对1克的物品的质量有感觉了，现在老师手里有一块橡皮擦，谁来掂一掂、估一估它的质量。（请两位同学。）

究竟谁估计得比较接近呢？现在我们来称一称它的质量。

师：现在老师手里还有一把牙刷，谁来掂一掂、估一估？（糖、铅笔、作业本、50粒玉米、数学书、文具盒。）

B感受1千克。（掂1千克碘盐，有1千克标签的。）

师：现在在你们桌上还有一样东西，它是碘盐，质量为1千克，现在请大家以小组为单位轮流掂一掂，闭上眼睛感受一下。掂后说一说感受。

师：现在请大家一只手拿1克的物品，另一只手拿1千克的物品，然后闭上眼睛，再掂一掂，说一说有什么感受。

（1）说明计量较轻的物品用克做单位，计量较重的物品用千克做单位。

师：在日常生活中，通常计量较轻的物品用克做单位，计量较重的物品用千克做单位。但它们都是质量单位。

（2）沟通克和千克的关系。（用天平沟通课件。）

师：既然它们都是质量单位，那它们有什么关系呢？现在我们一起来做个实验。这是1千克碘盐，这是1000克白糖，老师把1千克碘盐放入左盘，把1000克白糖放入右盘，看看天平能不能保持平衡，天平保持平衡说明了什么？

板书：1000克等于1千克

5.了解公斤、斤、千克、克的联系。

师：除了克和千克这两个质量单位以外，你还知道哪些质量单位？公斤、斤、两是我们生活中常用的质量单位，千克、克、吨是国际上统一的质量单位。虽然它们使用的范围不同，但它们都有密切的联系。

6.了解生活中的秤。

师：我们今天用了电子秤来称物品的质量，那么生活中还有哪些秤呢？谁见过？谁能告诉老师？生活中的秤还有很多，如：弹簧秤、杆秤、盘秤、磅秤等，请大家看大屏幕（师出示课件）。

三、巩固练习，拓展应用

师：到现在我们已经学了很多东西了，你们学得如何呢？老师想要考考大家的实力！愿意接受老师的考验吗？

1.在（　）里填上适当的单位（见课件）。

2.书29页（见课件）。

3.出示数学日记。

师：有位同学学了“克与千克”这个内容以后，回家写了一篇数学日记，内容请看大屏幕：

4月4日　星期二　晴

今天我们学习了“克和千克”，老师要我们做“妈妈的小帮手”。我到超市买了50千克的鸡蛋2个，1克的蛋糕1个，现在我的身体长得特别棒，体重已达40克，每天早上能吃掉100千克的馒头4个，晚上吃得更多，和爸爸妈妈在一起能把将近2克的米饭吃光。妈妈夸我是好孩子，我的心里也乐开了花。

师：你看完日记以后，发现了什么问题？

师：所以我们以后一定要根据具体情况选用恰当的单位，不然会像这位同学那样闹笑话！

全课小结

师：同学们，通过这节课的学习，谁能说说你有什么收获？

（沈建国，冯金顺.小学数学课程教学论［M］.郑州：郑州大学出版社，2008：88-90.）

2.练习课

练习课的主要任务是巩固一个阶段学生所学数学基础知识，形成熟练的技能技巧。一般在一个单元学完之后进行。练习课的一般结构如下：

（1）练习的内容。练习的内容的选取要有必要性与针对性，在练习课开始前，教师简要说明练习的主要内容。

（2）教学目标。练习课不是随意地让学生做几道题，而是要有明确的教学目标。

（3）课堂练习。这是练习课的主要部分，应安排足够的时间。练习应由易到难分成若干个层次进行。学生做练习时，教师要加强对学生练习情况的了解，进行必要的指导，并注意对差生的帮助。

（4）评讲。教师要对学生练习情况进行小结，加以评讲，使学生进一步巩固所学知识。

（5）布置课外作业。主要布置培养学生各种数学能力的习题（也包括综合题和思考题）。

【案例4】

练习课教案

课题：分数、小数加减混合运算练习

教学目的：

使学生在掌握分数、小数加减混合运算一般规律的基础上，能运用运算定律灵活地进行运算。

教具准备：小黑板、幻灯机

教学过程：

第一层次：用小黑板出示五道题

目的：对分数、小数加减混合运算，让学生进行分类，得出运算规律。第5题的计算，体现了运用规律的灵活性。

处理方法：师问“这五道题，化成分数做方便，还是化成小数做方便呢？”在问的同时，在黑板上分左右两边写上“小数做”和“分数做”这几个字。根据学生的回答，把化成小数做的题目，写在“用小数做”下面，把化成分数做的题目写在“用分数做”下面，并归纳出规律。最后对第（5）题进行讨论，通过讨论，学生认为这道题用小数做或用分数做都方便。

第二层次：用小黑板出示四道题

目的：主要让学生在第一层次练的基础上都能掌握规律，进行计算。根据规律，第（4）题应该化成小数计算，但化成分数做更加方便：。这就可以培养学生思维的灵活性。

处理方法：先让学生进行独立练习，然后进行改正，并对第（4）题进行讨论。

第三层次：用小黑板出示四道题

目的：在练习中运用加法交换率、结合律，使学生明确，对式题也要认真审题，要灵活。

处理方法：要求学生计算，逐题讨论。

第（1）题化成小数做方便：

原式=5.5-2.5+1.3=4.3。

第（2）题要讨论不化成分数后计算的原因。

原式=

第（3）题要讨论不化成小数后计算的原因。

原式=(2.76+17.24)

第（4）题要讨论不能合起来的原因。

原式=8.3+3.4-1.7=10或者原式==10，因此，这题化成小数做或分数做都方便。

第四层次：板书一道思考题

目的：把练习要求再提高一步。这题开始不能用小数计算，但通过转化，就能用小数计算，使学生认识计算时，既要正确、迅速，又要合理、灵活。

处理方法：先让学生想一想怎么计算，教师进行启发引导。再进行计算，然后说出计算过程。

原式=0.11=3.25+0.11=3.36。

小结：在计算分数、小数加减混合运算时，其中的分数如能化成有限小数，一般用小数计算；如不能化成有限小数，一般用分数计算；如分数间有特殊关系，也可不化小数，可以灵活选择运算方法。

（沈建国，冯金顺.小学数学课程教学论[M].郑州：郑州大学出版社，2008：90-91.）

3.复习课

复习课的主要任务是加深学生对一个阶段所学知识与技能的理解并使其系统化。一般要求在一个单元之后，期中或期末之前，也可以是小学六年级第二学期学完所有小学数学内容之后进行。复习课的结构一般如下：

（1）宣布复习的内容。应该向学生提前宣布复习的内容，让学生早做准备。

（2）教学目标。复习课也要有明确的教学目标。

（3）复习。这是复习课的主要部分。教师和学生一起对学过的数学知识与技能进行系统的或有重点的复习。

（4）练习。以布置能综合运用所学知识的习题为主，也可以布置体现知识系统性的习题，适当布置突出教材重点、难点的习题。

（5）评讲。对学生练习情况进行评讲，加深对所学知识的理解，并使知识系统化，使其纳入学生的认知建构系统。

（6）布置课外作业。有针对性地布置综合练习题。

【案例5】

复习课教案

课题：复习乘、除法简单应用题

教学内容：

义务教育五年制第三册教科书第40—41页第6—8题，练习二十二第5—8题。

教学目的：

通过对乘、除法简单应用题的复习整理，使学生进一步理解乘、除法应用题的数量关系，掌握解题思路，初步培养学生分析、比较、概括能力。

教学过程：

1.复习乘、除法简单应用题

（1）复习求相同加数的和、把一个数平均分成几份求一份是多少和求一个数里包含几个另一个数的应用题。利用第40页第6题，先让学生补上问题，使之成为一道乘法应用题，并要学生口头列式解答。然后，再让学生改编成两道不同的除法应用题。教师按顺序板书，并让学生口述怎样列式解答。

①学校买了一些墨水，每月用3瓶，4个月正好用完。买了多少瓶墨水？

②买了12瓶墨水，每月用3瓶，可以用几个月？

③学校买了12瓶墨水，用了4个月，平均每月用几瓶？

提问：这三道应用题有什么联系？

教师根据学生回答加以小结：第①题的问题在第②、③题里变成了条件，第①题的其中一个条件分别在②、③两题里变成了问题。从计算上看，第①题知道每月用3瓶，4个月用完，要求买了多少瓶墨水，就是求4个3是多少，所以要用乘法计算。第②题是知道一共买了12瓶墨水和每月用3瓶，求可以用几个月，就是求12里有几个3，所以用除法计算。第③题是知道一共买了12瓶墨水和用了4个月，要求平均每月用几瓶，也就是求把12平均分成4份，求一份是多少，所以也用除法计算。

（2）复习倍数应用题。利用第41页第7题，先让学生补上问题，使之成为一道乘法应用题。并要求学生口头列式解答。然后，再启发学生把上式改编成一道除法应用题。教师结合学生的回答板书，并让学生口头列式解答。

④学校每月用4瓶蓝墨水，用红墨水的瓶数是蓝墨水的3倍。用多少瓶红墨水？

⑤学校每月用12瓶红墨水，4瓶蓝墨水。用红墨水的瓶数是蓝墨水的多少倍？

引导学生比较上面两道题，提问：它们之间有什么联系？

学生回答后再提问：解答这样的应用题应该怎样想呢？

教师根据学生的回答引导学生小结：这两道题都是含有倍数关系的应用题。第④题的问题在第⑤题变成了条件，第④题的其中一个条件在第⑤题里变成了问题。从计算上看，第④题是知道红墨水是蓝墨水的倍数，求红墨水的瓶数，就是要求3个4是多少，所以用乘法计算。第⑤题是知道红墨水和蓝墨水的瓶数，求红墨水的瓶数是蓝墨水的多少倍，也就是要求一个数里面有几个另一个数，所以用除法计算。

做这样的题时，一定要分清谁是谁的几倍，谁是已知的，谁是要求的，再根据已知条件确定算法。

（3）系统整理乘、除法应用题。利用前面复习时改编的题目进行对比，可如下板书：

①②③

④　⑤

接着，教师先引导学生横着比较，每组应用题的已知条件和问题。想一想：它们之间有什么联系？

再竖着比较上下每两道题，想一想：它们都是用什么方法计算的？为什么？通过比较，使学生看到上下每两道题的解题思路是一样的：即①、④题都是求几个几是多少，所以都用乘法解答；第③、⑤题都是求一个数里含有几个另一个数，所以都是用除法计算。

（4）练习：练习二十二第5—7题，做完以后再进行比较。

2.练习有余数除法的应用题

先根据教科书第41页第8题，看图编一道有余数除法的应用题。在解答时，注意使学生弄清单位名称的问题。

3.练习连续两周的应用题

做练习二十二的第7题。让学生说一说是怎样想的。

（沈建国，冯金顺.小学数学课程教学论[M].郑州：郑州大学出版社，2008：92-93.）

4.检查课

检查课是指对学生学完一定的数学内容后，对其进行获得“四基”、发展各种能力情况的检查，也可以说是对教学质量的检查。它可以是对学生独立的检查，也可以是对学生小组的检查。它可以是书面的检查，也可以是口头检查，还可以是操作检查。检查课的一般结构如下：

（1）提出检查要求。端正学生对检查的态度，交代检查的注意事项。

（2）检查。由学生独立完成或由学生小组合作完成。

（3）收集检查结果。

检查课要有计划地进行，要安排在教学计划之内，要事先做好充分的准备工作，要事先告知学生，不搞突然袭击。

5.讲评课

讲评课的主要任务是分析检查中发现的问题，纠偏纠错，查漏补缺。讲评课的结构一般如下：

（1）检查情况小结。教师对全班学生的成绩做统计分析，多用表扬或鼓励的语言评价学生。

（2）查阅试卷。试卷一定要分发给学生，让学生知道自己的错误所在。

（3）重点错误分析。对试卷中普遍存在的错误要做重点分析，指出错在哪里及产生错误的原因。可以采用师生共同讨论的方法进行。这是讲评课的主要部分。

（4）关注学困生。教师对学困生要进行个别指导，帮助其纠正错误，鼓励其树立自信心。

（5）布置作业。针对学生的普遍性错误，还需编拟专门性练习题，供学生课后练习。

（二）小学数学课堂教学的基本要求

要使一节数学课的教学达到有效，教师应该做好以下几方面的工作：

1.围绕目标进行教学

尽管课堂教学有其生成性，但课堂教学还是要围绕预先制订好的教学目标进行。任何偏离和脱离教学目标的教学都应视为是无效的。

2.营造良好的课堂气氛

课堂气氛是学生在课堂学习过程中情感、态度和心理活动状态的表现。教学过程不仅是教师对学生传授知识、培养能力的过程，也是一个情感交流、心灵碰撞的过程。学生对数学知识的理解与掌握、对各种能力的形成，都需要投入一定的情感。给学生营造一个和谐、愉快的学习氛围，会形成一种极具感染力的催人奋进的教育情境，使学生受到感化和熏陶，全身心地投入到学习活动中，获得最佳的学习效果。营造良好氛围的方法有：

（1）关爱每一个学生。由于遗传因素、教育条件、家庭环境和社会环境的不同，学生所表现出来的个体差异是客观存在的。教师不但要关爱优秀学生，更要关爱学困生。研究表明，如果教师喜“优”厌“差”，使学习暂时有困难的学生受到冷遇，他们就会对学习活动产生畏惧情绪和自卑感，体验不到学习的乐趣，从而丧失学习的信心，从厌恶教师进而发展到厌恶该教师任教的课程；反之，如果教师能够厚爱他们，提问、板演、发表意见、用赞许的目光注视、用鼓励的语言表扬、个别辅导等都与他们有关，在他们的心目中切实建立起可信、可近、可亲、可爱、可敬的形象，他们就会“亲其师而信其道”，表现出积极的学习热情，投入到数学活动之中。

（2）精讲多练。在教学中“给学生讲的应该尽量少些，而引导他们去发现的应该尽量多些”（斯宾塞）。学生是学习的主体，教师是学生学习的组织者、引导者、合作者。教师要精心设计数学活动，激发学生的学习兴趣，为学生营造民主、平等、和谐、愉快的学习空间，使学生主动探索，积极建构。

3.创建良好的师生关系

既然教学过程是师生情感交流的过程，那么，课堂教学就必须建立在良好师生关系的基础之上，创建良好师生关系要在以下几方面下功夫：

（1）吸引学生。吸引学生，就是要变“要我学习数学”为“我要学习数学”。这需要从数学素材、数学的魅力、教师的魅力几方面去考虑。目前，数学教材提供的数学素材紧贴学生的生活实际，这一点做得很好，但是教师在对教材进行二次加工的时候还需进一步创设情境，使学生对数学活动感兴趣。教师要适时地向学生介绍数学在发生、发展过程中的重大事件及其广泛应用，展示数学的魅力，感染学生，使其有学好数学的愿望。教师还要用自己高尚的人格、实事求是的科学精神、课堂上精彩幽默的语言、挥洒自如的教态、简练漂亮的板书板画、得体的仪表、亲切的话语、热情的鼓励、信任的目光、敏捷的思维、娴熟的解题技巧等博得学生对数学的热爱，甚至于有一部分学生要继承师业，还有一部分学生将来要走进数学的殿堂。

（2）启发学生。孔子曰：“不愤不启，不悱不发。”“愤”是经过积极思考，想弄明白而没有弄通的抑郁的心理状态。孔子认为在此条件下教师才能去引导学生把问题弄通，即去“启”。“悱”是经过思考，想要表达而又表达不出来的困难境地。孔子建议在这样的条件下教师才能去指导学生把想法表达出来，即去“发”。所以，教师要在学生积极思考探索的过程中遇到困难时，设计问题、设计活动为化解困难架桥铺路，真正体现教师是学生学习的合作者、帮助者的角色。

（3）师生互动。良好的师生交流是建立在并保持高度互动的课堂气氛之中。师生互动、生生互动、小组互动是课堂教学的主要形式。互动要体现在语言交流和非语言交流中。语言交流要求教师提问要有预设性，要有价值，要有适时性，对学生的回答要给予合理评价，同时教师还要启发和鼓励学生提问。非语言交流要求教师要重视身体语言，要重视思维的互动。交流渠道畅通，教学效果就会好。

4.注重学生“四基”的获得与各种能力的发展

教师在课堂教学中要力争凸显学生“四基”的获得与各种能力（尤其是“四能”）的发展，以及创新意识和科学态度的养成，因为这是课程总目标的要求，同时也是一节课有效的重要标志。

5.合理科学地控制教学时间(www.xing528.com)

搞好课堂教学组织必须合理、科学地分配与控制每个教学环节所需要的时间，保证教师在有限的时间内突出重点、分散难点，完成预期的教学目标。教师要掌握好课堂教学的节奏，既不能前松后紧，也不能前紧后松，要按时上下课。另外，教师还要清楚小学生注意力不能持久的特点，把讲解的新内容把握在最佳的教学时间内。

6.及时反馈教学信息

教学过程中的信息反馈是双向的，可分为对教师教的反馈和对学生学的反馈。学生可以从教师的评价中获得对自己学习状况的反馈信息，及时调整自己的学习活动。教师可以从学生在课堂上的各种行为表现中获得对自己教的反馈信息，及时调整教学方案。

7.掌握反应调控技能

教师还要掌握反应调控技能，对课堂中发生的意想不到的事情，要沉着冷静、机智灵敏地处理，因势利导，使得教学回到原来的轨道上。

【案例6】

“观察与归纳”课堂教学实录

天津市红桥区文昌宫民族小学徐长青

教学目标：

1.从生活入手，利用简单枚举，感悟并掌握一般归纳的方法。

2.尝试用归纳的数学方法解决相关的数学问题，感悟数学方法的魅力。

3.在学习生活中提高独立探究与自主发现的学习能力，并在其情感、态度、价值观的走向上加以引导。

活动过程：

一、情景活动：建构数学方法

1.学会观察，引发问题

师：刚才欢迎老师时，你们是用身体的哪个部分来表示的？

生：手——

师：谢谢你们（教师向一名学生伸出手，学生也伸出手和老师握手），看，用你们的小手一下就拉近了我们的距离，那我们今天的活动就从手开始吧！

师：请把你们的手伸出来，没有什么特殊的，是不是？但其中有许多学问。这是什么？（伸出一个食指。）

生1：这是老师胖胖的手指。

生2：这是老师右手胖胖的食指。

师：他的描述更加详细，这个手指与数学有什么关系呢？用一句话来说。

生：这是一个手指。

（教师从手说起，巧妙地沟通感情，自然导入，使学生带着欢乐、求知、好奇的心态进入学习情境。数学就在你身边，数学学习是现实的，这不是一句空话。因为每个学生都熟悉手，自然对它就没有陌生感，从而能全身心地投入思考，教师应当利用学生的已知去引发他们的潜能。）

师：他的脑子里充满了数学。这是什么？你能联想到数字几？（伸出食指、中指。）

生1：这是2

生2：数字11。

生3：两根手指并在一起，从侧面看它就是数字1。

师：横看成岭侧成峰。把两根手指看作一个整体，是一个大1。

生：我还从两个手指中发现一条指缝。

师：看到它你想到什么？（伸出三个手指。）

生1：数字3。

生2：还有三个手指间的两个指缝。

生3：3个手指合并在一起，看成一个整体。

师：还可以联想到许多，1、2、3是观察的个体。（板书：个体。）在观察个体时，要注意什么？

生1：仔细，全面。（板书：仔细，全面。）

生2：展开联想。

（电脑显示：分别是伸出1、2、3个手指的手。）

师：观察这一组画面你发现了什么规律？

（来源于学生认知中的原有信息是宝贵的教育资源，教师不断引导学生对这些信息进行提炼整合。用一句话涵盖全部信息的过程就是儿童认知整合与提升的过程。这种采集与提升应由学习者来完成，唯其如此才是本质意义上的自我建构，在教师引导下学生的自主学习就是这样开始的。教师应该清楚数学的教学应是由个体现象到一般规律的提升。这里，教师的一句话使学生由对个体现象的关注转移到对一些相关现象的反思、提升上，这就是由特殊到一般的归纳思想，也是教师教学艺术的体现。）

（学生分小组热烈讨论。）

生：手指数在增加，指缝数也在增加。

师：他发现了一条隐藏的规律，他的思维是不是提醒了我们？

生：指缝数=手指数-1（板书）

师：还可以怎样说？在观察一组物体时要注意什么？

生：共性、联系。（板书：一组物体—共性—联系。）

师：由多个一般事实，通过观察、分析总结出规律的过程就是简单归纳。用你自己的话说一说什么是归纳，归纳要注意什么？

（基于已有的认识，制造一系列相关现象，在学生茫然之时，教师进行适时引导，让学生在思维中逐步删除非本质属性而牢牢地抓住本质属性的过程，是方法与思想的构建过程。数学的教学应是体验，是方法的提升，是思考的过程。）

2.实践应用，反思完善

师：祝贺你们成功了。根据这一现象，总结出这么好的公式。你们觉得归纳可怕吗？

生（齐）：不可怕！

师：下面，我们检验一下这个公式对不对？2个手指？

生：一个缝。

师：3个手指？

生：2个缝。

师：3个缝？

生：4个手指。

师：5个手指？

生：4个缝。

师：真棒！5-1=4。10个手指？

生：9个缝。老师诧异地看着双手说：左手有4个缝，右手有4个缝，2只手是8个缝。这个公式不对啊？

生独立思考后，争着演示说：这样，这样。（双手合拢。）

师：我这明明是两只手啊，为什么要和起来？

生：因为我们把两只手看作一个整体。

师：哦，刚才我们是在什么范围内总结这个公式的？

生：一个整体。

师：这说明一切数学问题都是条件问题。离开了产生发展的条件，规律是不存在的，但是当条件与规律适用的范围不符时，我们可以改变条件，这就是数学的创造性思维。刚才同学们一下子总结出两只手有9个缝，你们还有别的想法吗？

（学习中，学习者往往对结论给予极大的关注，常常忽视事物产生的条件和变化的过程，常常是利用已知去演绎，而缺少从已知迈入未知的意识。我们的课堂要引导学生创新反思，关注条件与过程。上面这一环节的设计引发了学生对结论的反思和对条件的关注。学数学就要问数学，问题是思维的开始，教师设计时没有让结论成为活动的终点。）

生：把两只手合成1个圆筒形，这就是10个指缝了。

师：其实同学们思考的过程就是归纳的过程。你在生活中还遇到过这样的问题吗？

生：植树，锯木段……

师：一个数学规律被发现后，可以把它推广到生活的许多问题中去。我希望同学们认真地观察，仔细地归纳，发现更多的规律。

（自觉地发现、探索与创造，使熟悉的事物或简单的例证带给学生乐趣，伟大的数学思考常常就在简单的事例、活动中实现。课堂教学不能远离学生，更不能远离生活。从熟悉的生活中提炼数学问题，孩子们会感觉到自己在课堂中成长着，会体会到成功给予他们的快乐，还会体会到过程与方法比结论更重要。通过做数学、学数学、问数学，学生会爱上数学。）

二、操作演绎，尝试初步归纳

出示：三角形的内角和是多少度？你用什么方法证明？

（学生讨论，选择方法，进行演示，讲清思路，确定名称。）

师：证明三角形内角和是180°，谁有最好的方法，请告诉我。

生1：用量角器量一下。

生2：我不用量角器也可以证明三角形内角和是180°。

（学生分小组操作证明。）

生1：这个三角形的三个角相加，和是180°。

师：给你的方法起个名字？

生1：量角求和法。

生2：我把三角形撕成三块，拼起来正好是一个平角。一个平角是180°，从而证明三角形内角和是180°。

师：他们的胆子真大，居然把三角形撕开了，给你的方法起个名字？

生：撕角求和法。

师：归纳得很好。（电脑演示撕三角形拼平角的过程。）

生：我们是把三角形的三个角折在一起，这三个角组成一个平角（180°），它的名字叫折角求和法。

（另一组学生把3个相同三角形的不同的角拼到一起，叫三拼求和法。）

师：这组的同学多么有合作精神！每人拿出一个三角形，省去了撕、折的过程。

（电脑演示三拼求和。）

（来源于学生的反复求证，不同的方法，同样的证明，在使学生获得属于自己“专利”的正确途径后，又为下面的研究积累了大量的原始信息，对图形的个体现象的研究，最终将上升为对生成问题和图形组群的研究，其特征，方法与规律不正蕴含其中吗？）

三、枚举归纳，主动探索规律

师：四边形的内角和是多少？（鼓励学生利用已有的经验大胆猜测。）

生：把四边形的四个角拼在一起组成了一个周角，周角是360°，我们断定四边形的内角和是360°。

师：还有吗？

生：（学生首先剪角演示。）左边的角是平角，右边也是平角。

师：大家同意吗？

生：不同意！因为左边的是一个折线，不是平角。

师：我们来看这是不是四边形的内角。（指出四个正确的内角。）

师：不过这也不失为一种方法，再改造一下就好了。

生：我们组的方法是这样的：这是一个不规则的四边形图形，因为它可以剪成两个三角形，三角形的内角和是180°，所以剪成两个就是360°。

（智力是多元的，思考是多维的，方法是多种的，教学中教师没有轻易因答案的错误而否定一个方法，而是肯定方法，寻找不足，最终得出正确答案，这是对学生思维的保护，也是对创新思维的培养。）

师：我们来动手做一下行吗？

生：可是四边形可以剪成三个三角形啊，难道可以说是540°吗？

师：那我们就分成两个小组进行辩论。怎么就是360°了？

生：因为你无意中多剪了两个角。

师：两个角是多少度？

生：180°。

师：540°-180°等于多少？

生：360°。

师：你们把我说服了，但是需要把不同意的同学也说服呀！（学生仔细演示，最后说服了回答是540°的同学。）

（课堂不仅是师生的对话，更应该是生生的对话，信息发布者应让每个参与者了解、理解自己的信息并加以说明，这是教学民主的体现。在争论与说明中，每个参与者的认识在“对他的与我的为什么不同的系统思考”中得到完善和发展。）

师：你们握握手吧，谢谢你们！同时也特别感谢这名同学，你有着非常执着的精神。那么，它的技巧究竟在哪里呢？我们这一刀应该切在什么地方呢？

生：角对角。

师：那这条线我们称之为——

生：对角线。

师：那么，我们沿着对角线将图形分成尽可能少的三角形。四边形可以分成几个三角形呢？

生：两个。

师：我们给它取个名字。

生：一分为二求和法。

师：行不行？

生：行！

师：那我们就叫作一分为二求和法。我们比较一下，一分为二求和法与前面的量角求和法、折叠求和法、剪拼求和法有什么不同？

（本节课充满了问题意识，教师不断激发学生产生问题，又引导学生进行比较，在比较中鉴别，突出事物的本质特征，就是一种重要的学习方法。可见，教师在本课的设计中突出了方法而淡化了结果。）

生：我们认为前几种方法或拼或剪，而我们用的一分为二求和法是用已经学过的三角形内角和知识。

师：这种方法不是对原来方法的重复，而是在肯定三角形内角和的基础上，利用已有知识解决了新的问题，这名同学真棒，有一种划归意识和工具意识。我们知道了三角形内角和实际上是多了一个工具，那么，我们在知道了四边形内角和之后也多了一个工具。你们猜猜我在想什么？

生：五边形的内角和是多少？

师：谁来试试？

生1：我觉得五边形的内角和应该是540°。

生2：420°。

生3：540°。

师：请你们用自己的小手来分一下！

生1：我用的方法和上次一样，我分成了三个三角形（演示）。180°×3=540°。

生2：我分成了一个四边形和一个三角形。四边形内角和是360°，三角形的内角和是180°，所以是540°。（掌声热烈。）

师：真不错！这两种方法其实可以归到一种方法上去，也可以分成几份？

生：三份。

师：这种方法叫什么？

生：一分为三求和法。

师：如果我还要问下去，还会问什么？

生：六边形，七边形，八边形……

师：知识是无穷尽的。如果这样不断地问下去，我也累，大家也累，那怎么办呀？能不能有好的方法让我们不累呀？你说！（指一名学生。）

生：三角形是180°，四边形是360°=180°×2，五边形是，是……

师：180°×2？（学生开始议论。）

师：看起来我们现在已经看晕了，刚才有一名同学猜五边形是420°，你是怎么想的？

生：我想两个三角形是360°，一个角是60°，所以60°×7=420°。

师：看来这种想法有待商榷，不过这次你明白了吗？

生：明白了。

师：不过你很勇敢，敢于把自己的想法表达出来接受同学们的检验和帮助，这也是值得鼓励和赞扬的。在课堂上，每个人都要敢于暴露自己的想法，把这些资源贡献给同学们，让同学们去使用。其实，刚才我们做过的结论也是一个宝贵的资源，让我们重新审视一下这些资源。

（正确的学习观的建立受益于教师对学生情感、态度、价值观的正确引导。这名学生错的是结果，而成功的是他的勇气与精神。教师在这节课上对全体同学的引导和对这名学生的肯定无疑会大大激发学生的探究欲望，并使他们勇敢地猜想，大胆地猜测，他们的创新品质和求异思维能力将会被不断提升。）

师：三角形几条边？

生：三条边。

师：几个三角形？

生：一个。

师：内角和是多少度？

生：180°。

师：四边形几条边？

生：四条边。

师：最少能够分成几个三角形？

生：两个。

师：七边形呢？

生：一分为五。

师：九边形？

生：一分为六。（正确为“七”。）

师：同学们，刚才的问题都是来自老师的，但是我想通过这节课把这些问题转化为你们自己的，不断地问自己为什么？会怎样？一个一个地问，一个问号你可能解决不了，但是当你把这些问号连成一串的时候就会发现，你有办法解决它了。四边形一分为二，五边形一分为三，六边形一分为四，七边形一分为五，十二边形一分为——谁能告诉我十二边形的内角和是多少？

生：180°×10=1800°。

师：我是不是给你一个十二边形去一刀一刀地剪？

生：不用。

师：你们已经把一个个数学现象连接起来生成了一个数学规律，让我们用这个规律去解决新的问题。

（开放的结论，开放的课程，教师巧妙地在本节课上抑制了结论的出现，给孩子们提供了更多的思考空间，这是一种期待，相信学生们会带着自己的思考、个人的理解走下课堂，走进生活，当学习从课堂延伸到生活的时候，这不就是大课堂的建立吗？一个数学活动结束以后，所产生的有形的结果，一旦得到“权威”（教师）的肯定，就会使学习者终止他的学习。本节课的教学设计得到的不是一个个句号而是由一个个问号连接起来的学习活动，方法的获得、态度的确立，必将为学生探究新的知识打下一个良好的基础。）

四、总结方法，深化数学思想

1.组内研讨归纳的方法，总结注意的问题。

2.谈活动收获，小结知识与方法的关系。

3.提供一个活动内容，讨论研究方向。

【评析】

观察是最直接的认识方法，归纳是最基本的数学思想方法。本节课将观察和归纳两种方法有机地结合在一起，并有意识地渗透演绎的方法，合理地浓缩了人的认知过程，从而形成了完整的基本认知框架，并巧妙地利用手指与指缝的关系这一身边的事例，实现了由学数学向用数学、做数学发展，从学科数学向生活数学发展。在学中体现了数学的美、数学的价值，进而激发出了学生对数学的喜爱之情，这才是根本的学习动力。具体来讲，本节课的教学设计有以下几个特点：

1.充满基于问题的研究而设计的有趣的教学情境。由一个问题的解决而逐步引发出新的问题，始终围绕问题去研究，从而实现学生思维的攀升。学生思维中始终充满的是好奇的问号，学生在学习活动中寻找的是途径，感悟的是规律，掌握的是方法而不仅仅是结果，这是本节课的突出特征。

2.本节课的教学设计重视对数学实用性和规律性的体现。学生在解决手指与指缝的关系、求多边形的内角和的问题中，都是用已有的知识加以改造、联想、分析、归纳，从而产生新规律。在数学的实用性上特别强调了一切数学问题都是条件问题，使学生清楚地认识到运用数学规律解决数学的实际问题要注意到数学条件的存在，从而有意识地引导学生关注知识发生、发展的全过程。这一数学思想对学生的数学学习无疑是很有价值的。

3.着力于对学生合作与选择能力的培养的设计。本节课的合作是建立在充分的、独立探究的基础上的自发性合作，从课堂流程来看，合作已变成学生学习的需要。在教学环节中，教师不断激励学生思考新的方法，并引导学生不断地选择最佳的方法，在比较中鉴别，在多解中得到优解，不断地提高自己的选择能力。