问题1 某装潢队要对社区活动中心进行装修.现在要在一个活动室的地面铺上地砖，已知地面长3.2米，宽2.4米，则装潢队可以选择哪些规格（厘米×厘米）的正方形地砖？
地砖的边长能整除240和320，也就是240和320公有的因数.
实质上是将一个长320厘米、宽240厘米的长方形分割成几个边长相等的小正方形，而这条边长就是320和240的公因数，因此地砖最大是80厘米×80厘米.
几个整数公有的因数，叫作它们的公因数（common factor），其中最大的一个叫作它们的最大公因数（greatest commonfactor）.
想一想 如何求4和8的公因数？
可先分别列举4和8的所有因数，再找出公有的因数.
4和8是倍数关系，较小数4应是它们的最大公因数，而4的所有因数都是它们的公因数.
问题2 （1）3和15的最大公因数是______________________ ；
（2）18和36的最大公因数是_____________________________ ；
（3）1和9的最大公因数是_______________________________ .
你发现什么规律了吗？
两个整数中，如果一个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数，这个数的所有因数就是它们的公因数.
想一想 如何求两个较大且没有倍数关系的整数的公因数？
例1 求18和30的最大公因数.
解法1 枚举法.
18和30的公因数有1，2，3，6；18和30的最大公因数是6.
若数据较大时用枚举法比较繁琐，那么有更快捷的方法吗？
解法2 分解素因数法.
可以看出，18和30全部公有的素因数是2和3，因此2和3的乘积6就是18和30的最大公因数.
求几个整数的最大公因数，只要取它们所有公有的素因数（重复的重复取），并把它们连乘，所得的积就是它们的最大公因数.
用短除法求最大公因数时，一般用从小到大的素因数顺序依次去除.
短除法与分解素因数法本质上是相同的，只是形式不同.
解法3 当数字较大不易直接分解时，我们还可以用短除法进行计算.
18和30的最大公因数是2×3=6.
试一试 你能说说分解素因数法与短除法这两种方法的异同点吗？并且能总结一下什么时候用什么方法比较合适吗？
例2 求6和7的所有公因数，并求它们的最大公因数.
解 6的因数有1，2，3，6；7的因数有1，7.
6和7只有一个公因数1，因此6和7的最大公因数是1.
如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素.
想一想 素数与互素有什么区别呢？
例2中6和7互素.
素数是指一个数只有1与它本身这两个因数；互素是指两个数之间的关系，这两个数的公因数只有1.
如6不是素数，但6和7互素.
问题3 在3和9，4和9，2和7，16和17四对数中，哪几对是互素的？
三个整数中，如果任取两个数都是互素的，那么称这三个数两两互素.
如4，9，25，这三个数中4和9，9和25，4和25都是互素的，则称4，9，25两两互素.
问题4 （1）6和7的最大公因数是 ____________；
（2）8和15的最大公因数是____________.
你发现什么规律了吗？
如果两个整数互素，那么它们的最大公因数是1.
例3 下列说法正确的有（ ）.
①在2，3，6，8，9这五个数中，互素的数共有4对；
②1与任意正整数都互素； ③两个素数必定互素；
④互素的两个数必定都是素数.(www.xing528.com)
A.1个B.2个C.3个D.4个
分析 ①在2，3，6，8，9这五个数中，互素的有2和3，2和9，3和8，8和9，共4对，正确；②1与任意正整数都只有公因数1，所以1与任意正整数都互素，正确；③若两个素数相同，如2和2的公因数除了1，还有2，故“两个素数必定互素”是错误的；④4和9互素，但它们不是素数.
解 B.
1与任意正整数都互素；两个不同的素数互素；两个连续的正整数互素.
例4 求48和60的最大公因数.
48和60这两个数较大，枚举法不太方便，因此用分解素因数法或短除法较好.
解法1 短除法.
48和60的最大公因数是2×2×3=12.
解法2 分解素因数法.
∵48=2×2×2×2×3，60=2×2×3×5，
∴48和60的最大公因数是2×2×3=12.
例5 求8，12，30的最大公因数.
例5解法2短除法最后一行的两个商，虽然4和6，6和15分别还有公共的素因数2，3，但是4，6，15除了1没有公有的素因数，因此要注意求三个及三个以上整数的最大公因数与两个有所不同.
也可用枚举法或分解素因数法求得最大公因数.
解法1 分解素因数法.
∵8=2×2×2，12=2×2×3，30=2×3×5，
∴8，12，30的最大公因数是2.
解法2 短除法.
8，12，30的最大公因数是2.
例6 一个数除253余1，除299余2，这个数最大是多少？
解 253-1=252，299-2=297，
例6根据除数乘以商加上余数等于被除数，我们可知被除数减去余数的差能被除数整除，即除数是这个差的因数，所以题中要求的这个数最大应是252和297的最大公因数.
252和297的最大公因数是3×3=9，即这个数最大是9.
练习1.7
1.A=2×3×a，B=2×7×a，如果A，B两数的最大公因数是10，那么A=____________，B=____________.
2.如果两个整数只有公因数1，那么这两个数________.
3.12和28的最大公因数是_____________.
4.若整数a是整数b的倍数，则a和b的最大公因数是________.
5.m和m+1（m是正整数）的最大公因数是（ ）.
A.1B.mC.m+1D.m（m+1）
6.下列说法正确的有（ ）.
①互素的两个数没有公因数；
②两个连续正整数互素；
③若两个数都是合数，则这两个数不互素；
④若甲数和乙数的最大公因数是b，则甲、乙两数都是b的倍数.
A.1个B.2个C.3个D.4个
7.在下列各组数中，互素的是（ ）.A.24和9B.8和15C.18和81D.17和51
8.两个整数的积是96，它们的最大公因数是4，求这两个数.
9.两个整数的和是60，它们的最大公因数是15，求这两个数.
10.求下列两组数的最大公因数：
（1）18，27和126； （2）30，36和90.
11.若A=a×b×c，B=a×c×d，a，b，c，d是不同的素数，求这两个数的最大公因数.
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