初中数学概念性知识在教学中的应用

受到传统的“灌输式教学”和“涂鸦式教学”的影响，目前初中数学教学过程中依然存在类似的教育方法，以教师讲解为主，以学生听讲、做笔记和写作业为辅，这样的教学方法不利于学生独立思维的发展，课堂交流与讨论环节的缺乏会阻碍学生合作精神的发展。所以，教师应该在课程设置中加入数学概念性知识应用环节，通过学生对数学概念性知识的应用来提升数学思维和动手能力。

示例1：对于人教版初中数学中数据的统计与分析内容，教师可以在讲解完基本概念后以概念应用为主来渗透概念性知识的理解。比如，下面问题是学生课前调查到的与人们生活密切相关的实际问题，每一大组完成一个，分四个小组讨论后设计出最佳方案。10分钟后，大组源代表交流发言。1.电价问题：据我们调查，我市居民生活用电价格为每天早晨7时到23时每度0.47元，每天23时到第二天7时每度0.25元。请根据你家每月用电情况，设计出用电的最佳方案。2.水费问题：我市为鼓励节约用水，对自来水的收费标准做如下规定：每月每户用水不超过10吨部分按0.45元/吨收费，超过10吨面不超过20吨部分按0.8元吨收费，超过20吨部分按0.50元/吨收费，某月甲户比乙户多交水费3.75元，已知乙户交水费3.15元。问：（1）甲、乙两户该月各用水多少吨？（2）根据你家用水情况，设计出最佳用水方案，探索创新。3.用气问题某市按下列规定收取每月的煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费。怎样用气最节约？请设计出方案来。4.电信支费：随着电信事业的发展，各式各样的电信业务不断推出，请你通过市场调查，为你家设计出一种通讯方案。（1）两地间打长途电话所付电费有如下规定：若通话在3分钟以内都付2.4元。超过3分钟以后，每分钟付1元。（2）某移动通信公司升级了两种通讯业务，“全球通”使用者先缴50元/月。对于问题的探索，教师应该提供给学生一个开放的空间，放手让学生去探索、去发挥，通过学生合作交流来设计最佳方案，培养学生用数学的意识和创新意识。课堂小结：可用教师对各小组交流的方案进行简单的评价作为小结。本课以生活中的实际问题引入，以学生为主体，师生共同合作参与完成例中设计的几个问题，共同推导出数据分析的概念性知识和选择最佳方案的数学规律，教师在学生接受新知识的过程中，起到了一个组织者、合作者、引导者的角色，学生的学习始终是主动的，通过学生课前的社会调查，对生活中的一些方案以开放形式设计问题，学生通过小组合作交流设计出不同的方案，让学生在生动活泼的交流情境中感受到数学的应用价值，产生对数学的兴趣，同时养成认真倾听他人发言的习惯，感受与同伴交流想法的乐趣，通过用电、用水最佳方案的设计，培养学生节约用电、用水的意识。

示例2：人教版八年级下册中的“勾股定理”，其中，学生需要学习勾股定理、勾股定理的逆定理和勾股定理的简单应用。可见，本章主要是围绕勾股定理基础知识，逐渐延伸勾股定理的应用、内涵。关于定义、定理和公理，它们都具有很强的理论性，而理论性的知识最容易让学生犯困，勾股定理作为初中数学的一大定理，渗透和应用较广，对于初中生来说是比较难理解的，所以，教师在讲解这一章时，应该营造轻松的课堂氛围，让学生能够在自然状态下进行小组合作学习。让学生探索勾股定理在直角三角形中的应用，研究勾股定理在我们生活中的重要意义。让学生交流自己了解的一些历史故事和有趣的数学背景。或者让学生学习小组用四张全等的直角三角形纸片拼含有正方形的图案，要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠，然后让合作学习小组提出几种不同的拼法。分别设置直角三角形的直角边长、斜边边长为a、b、c，让合作小组用不同的方法计算制作的正方形的面积，然后分析勾股定理的证明方法。教师可以组织学生在拼出的其他图案中再尝试以上的方法，探寻更多的方法来证明勾股定理。教师在课堂教学过程中融入学生的实践性学习，有利于激发学生的学习兴趣，推动学生的共同发展，锻炼学生的交流、沟通与合作能力，同时增强学生的概念应用能力。

示例3：学生在学习和应用统计与概率的过程中会遇到很多的数据，那么分析数据是必不可少的一项技能，可以说是学生终身学习的必备能力。不仅是数学的概率与统计，在化学、生物和物理等理科学科中需要学生强大的数据分析能力作为支撑，甚至在语文、英语、历史、地理和政治等文科学科中也有很多数据分析方面的知识和内容，因此，学生良好的统计分析能力对学习和人生事业的发展具有重要的意义。教师作为学生的引导者，应该注重对学生分析数据能力的培养和提升。例如，统计中提到概率分布折线图、总体密度曲线、茎叶图，这三种图都是用来统计数据，而标准差、方差、平均数、众数、中位数等都是用来表示一组数据中的特殊数据，从而体现出整组数据的特点，理解样本数据。这些统计图和数据都需要进行分析才能够找出其中的关键。我们可以通过分析整组数据的平均数和中位数来得到其他信息。比如，某地区同龄儿童的身高和体重、一个工厂产品质量控制数据、运动员短跑的一组数据、学生的数学成绩数据等，这些都可以构成一组数据，分析数据某地区同龄儿童的身高和体重，可以得到该地区同龄儿童整体的营养情况发育情况，从而对一些发育不良的儿童进行良好的养育；分析一个工厂产品质量控制数据，可以知道该工厂产品质量的总体水平，能够快速找出同类产品中不合格的产品，提高检测工作效率；分析运动员一段时间短跑成绩，可以知道该运动员的成绩进退情况，综合天气和身体状况等因素，可以通过数据的分析来加强训练，提高成绩。

示例4：数学运算是学习更多数学知识的基础工具，数学运算广泛应用于统计、概率、函数、解三角形、集合、几何等数学题型中，在实际生活中有着同样重要的作用。数学运算还广泛应用于物理、化学、地理、政治和生物等学科的计算与分析过程中。因此，学生在高中阶段养成良好的数学运算素养的重要性可见一斑。教师在平日的教学过程中应该加以引导与培养。例如，人教版初中数学中的“概率”，在随机事件的概率这一节中提到必然事件、不可能事件和随机事件，还有频数、频率与概率的讲解，分析数据与数学运算是相辅相成的两种数学核心素养，对于浅显的数据，只需要观察即可分析，而对于复杂的数据，进行数学运算是必不可少的。在学习概率这一章时，很多教师会举抛硬币这个例子，而课堂上组织学生做抛硬币的活动，由于时间和场地的限制，学生不可能在短时间内完成几百上千次抛硬币的实验，只靠几次或几十次的实验来分析硬币落地正面与反面的频率，这是小样本数据，并不能有效支撑结论。因此，教师通常只能让学生根据课本上历史上科学家做的抛硬币实验来分析硬币落地正面与反面的概率，或者鼓励学生课后积极进行实验，而由于抛硬币实验需要很多次数的实验和很长时间的消耗，很多学生难以独立也没有很强的好奇心来完成实验。所以，教师在讲解概率这一章时，主要通过组织学生分析数据和进行数学运算得出结论。对于抛硬币这个实验的分析，学生只需要进行简单的统计与计算即可得出结论，即当实验次数很多时，硬币落地正面与反面出现的概率无限趋近于0.5。事实上，关于实验数据的统计与分析，本章中还有很多更难、更复杂的计算值得学生积极探索，如正态分布、古典概型、对立事件和互斥事件的概率计算、几何概型等。(www.xing528.com)

示例5：人教版初中数学中关于梯形的内容中，重点和难点分别是：1.重点：等腰梯形的性质及其应用。2.难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）及梯形有关知识的应用，3.难点的突破方法：对于梯形的概念要注意以下几点：（1）梯形和平行四边形的共同点：都是凸四边形；（2）它们的区别：平行四边形是有两组对边平行；梯形只有一组对边平行，而另一组对边不平行，即平行四边形平行的边是相等的，而梯形平行的边是不能相等的；（3）对于上、下底（这是习惯叫法，不是定义）是以长短来区分的，而不是指位置关系。在研究梯形时，常用的辅助线是平行移动梯形的一腰或一条对角线，或者从梯形上底的两个端点作梯形的高，把梯形的问题转化为关于平行四边形或三角形的问题，应用：三角形或平行四边形的知识来解决梯形问题。所以学好本大节内容的关键是引导学生会添加适当的辅助线，把未知转化为已知，用已掌握的知识来研究新问题，教学中要使学生熟悉本大节中常用的辅助线，并明确这些辅助线对于问题转化的作用。教学中要提醒学生，当证得新命题之后，要注意直接引用它们，不要再添加辅助线重复命题的证明过程。解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中；“延腰”；（4）构造具有公共角的两个等腰三角形；（5）“等积变形”，连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形。

对于三角形的概念性教学，教师应该找到合适的教学方法，通过引导学生自主探究、合作交流、归纳进行有效教学。首先，教师可以提出问题，创设情境：使用课件出示图片，让学生找出图案的共同特点。然后导入新课。设计方案：1.作一个等腰三角形；展示作品，介绍做法。引出等腰三角形的定义。2.教师演示做法，介绍腰、底、顶角、底角。3.小组合作探究等腰三角形的性质：（1）等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴。（2）等腰三角形的两底角有什么关系？（3）顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？（4）底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？然后学生分析条件和结论，探究证明方法。（1）证明等腰三角形底角的性质。（2）证明等腰三角形的“三线合一”的性质。

教师还可以以现实生活中的例子来指导学生思考与学习三角形概念性知识。比如，某地地震过后，河沿村中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平，在等腰直角三角尺中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角点，同学们确信房梁是水平的。他们的判断对吗？为什么？根据上述的生活问题可以生成数学问题：在△ABC中，AB=AC点D在AC上，且BD-BC=AD，求△ABC各角的度数。当学生解决完这个问题之后，教师可以随之提高学生思考的深度和思维的高度，让学生思考一下几个问题：（1）等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？（2）利用类似的方法，还可以得到等腰三角形中哪些线段相等？

最后，教师以一段总结来概括本节课的内容。师：这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用，腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高。