小学数学思维拓展：5年级升级版视频讲解第25讲

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拓展目标

1.提升两种数学素养：空间观念，推理能力。

2.学习三类思维方法：三视图法，分类讨论法，转化法。

3.掌握三项基本技能：会用分类计算法解决长绳捆物问题，了解立体图形拼搭锯开后表面积的变化规律，学会用三视图法巧算面积。

4.体验一种数学情感：空间想象力不断提升带来的自豪感。

活动1　捆扎绳多长

有一个长50 cm，宽40 cm，高20 cm的长方体物体，如图25-1中那样用绳子捆绑起来，最少要________m的绳子。（打结处的长度忽略）

图25-1

图25-2

分析　第1步：如图25-2所示，按所在的面不同，把绳子分为A、B、C三类；

第2步：分别计算每类绳子的长度和根数，可求出绳子的总长度。

解答　A1=A2=A3=（40+20）×2=120（cm）

B1=(40+50）×2=180(cm）

C1=C2=(50+20）×2=140(cm）

绳子的总长：

120×3+180+140×2=820(cm）

=8.2(m）

分类法对称性

活动2　拼搭找规律

把5个完全一样的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是418 cm2，那么每个小正方体的表面积是多少平方厘米？

解答　6×5-8=22（个）

418÷22=19(cm2）

19×6=114(cm2）

答：每个小正方体的表面积是114 cm2。

找出规律　1个小正方体有6个面，2个一样的小正方体拼在一起时，减少2个面，那么5个拼在一起时，减少几个面呢？

活动3　锯一多两面

如图25-3所示，一个长方体的木块，锯掉10 cm后，得到一个正方体木块，表面积比原来减小220 cm2，求原长方体木块的表面积。

图25-3

解答　正方体的棱长：

220÷4÷10=5.5(cm）

正方体的表面积：

5.52×6=181.5(cm2）

原长方体木块的表面积：

挖掘隐藏量　①这个长方体木块锯掉10 cm后，能得到一个正方体，说明原长方体的高和宽相等。

②减小的表面积其实是锯掉的那个长方体的上、下、前、后面的面积之和。这样可求出原长方体的高和宽。

220+181.5=401.5(cm2）

答：原长方体木块的表面积为401.5 cm2。

活动4　巧用三视图

如图25-4所示，将14个棱长为4 cm的正方体放在地面上，堆成一个三层的立体图形，然后把露出来的表面都喷上油漆（注意：贴着地面的那一面是喷不到的），则喷漆表面的总面积是多少平方厘米？

图25-4

三维观察

图25-5

分析　①从上面可以看到3×3=9（个）小正方形（如图25-5所示）。

②从前、后、左、右看，四个面都一样，包含6个小正方形（如图25-5所示）。

③算出喷油漆的小正方形个数

④再乘以小正方形的面积。

三视图法

解答　小正方体每一个面的面积：4×4=16cm2

上面面积：3×3×16=144（cm2）

侧面面积：（1+2+3）×16×4=384（cm2）

总面积：144+384=528（cm2）

答：喷漆表面的总面积为528 cm2。(https://www.xing528.com)

活动5　复杂多面体

图25-6是由五个正方体粘在一起而成的模型，它们的棱长由小到大分别为2 cm，3 cm，5 cm，8 cm，13 cm，则这个多面体的表面积是多少平方厘米？

图25-6

找出规律

图25-7

分析　如图25-7所示，两个大小不同的正方体贴在一起，减小的表面积是较小正方体的两个面的面积。

解答　解法一：

五个正方体不计重叠时的总面积：

(2×2+3×3+5×5+8×8+13×13）×6=1626(cm2）

重叠部分面积：2×2×6+3×3×6+5×5×4+8×8×2=306（cm2）

多面体的表面积：1626-306=1320（cm2）

解法二：

正面面积：5×5+8×8+13×13=258（cm2）

侧面面积：8×8+13×13=233（cm2）

上面面积：13×13=169（cm2）

多面体的表面积：（258+233+169）×2=1320（cm2）

答：这个多面体的表面积是1320 cm2。

总面积减重叠部分面积

三视图法

多面体表面积=（正面面积+侧面面积+上面面积）×2

立体图形歌（一）

长绳捆物计绳长，分类计数再累加；

拼搭一处少两面，分拆锯开要增加；

复杂图形求面积，三视图法是最佳。

思维小训练

1.有一个长25 cm，宽9 cm，高14 cm的长方体，如图25-8那样用绳子捆绑时，最少要多少米绳子？

图25-8

2.把3个完全一样的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是686 cm2，那么每个小正方体的表面积是多少平方厘米？

3.一个长方体的高增加6 dm后，变成一个正方体，其表面积增加了240 dm2，则原来长方体的表面积是多少平方分米？

4.一个长方体的表面积是131.8 dm2，底面积是26 dm2，底面周长是21 dm。这个长方体的高是多少分米？

5.一个长方体的木块，锯掉12 cm后，得到一个正方体木块，表面积比原来减小了360 cm2，求原长方体木块的表面积。

6.如图25-9所示，有一个边长为40 cm的大正方体，分别在它的角上、棱上、一个面上各挖去一个大小相同的小立方体后，它的表面积变为9696 cm2，那么挖去的小立方体的棱长是多少厘米？

图25-9

7.如图25-10所示，一个表面涂成蓝色的大长方体，它的长、宽、高分别是21 cm，8 cm，16 cm，如果沿着图中的线把它切成12个相同的小长方体，这些小长方体中没有被涂上蓝色的所有表面的面积之和是多少平方厘米？

图25-10

8.图25-11是由四个正方体粘在一起而成的模型，其中两个最小的正方体的棱长为3 dm，另外两个正方体的棱长分别是5 dm和8 dm，则这个多面体的表面积是多少平方分米？

图25-11

思维小达人

如图25-12所示，由64个棱长为1的小正方体组成一个棱长为4的大正方体，若从前往后抽掉中间8个小正方体，则剩下的几何体的表面积是多少？

图25-12