符合条件的最简真分数有哪些

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拓展目标

1.提升两种数学素养：数感，数据分析观念。

2.学习两种思维方法：列举排除法，逐步调整法。

3.训练三种基本技能：能灵活运用分数的基本性质解题，运用容斥原理求最简真分数个数，掌握已知两分数分子与它们的和求分母的方法。

4.体验一种数学情感：有序思考、灵活运用的快乐。

活动1　基本性质

分析　当分数的分子5加上15后增加了3倍，要使分数的大小不变，分母也应该增加3倍。

解答　15÷5×16=48

答：分母应加上48。

想一想：要使分数的大小不变，分母也加上15，这样做行吗？

分数的基本性质　分数的分子和分母都乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

活动2　最简真分数

分子与分母的乘积是66，符合条件的最简真分数有哪些？把它们一一写出来。

最简分数　分子与分母互质的分数，叫作最简分数。

分析　所求的分数应满足三个条件：

（1）分子与分母的乘积是66；

（2）分子要比分母小；

（3）分子与分母是互质数。

真分数　分子比分母小的分数，叫作真分数。

分解质因数法　把66分解质因数，再从它的质因数中选出分子和分母即可。

解答　66=2×3×11

满足条件的分数有：

活动3　分数个数

分母是385的真分数有________个，最简真分数有________个。

分析　（1）根据定义，分子为1～384的这384个自然数都是真分数。

（2）当分子是5，7，11的倍数时都不是最简分数，可以先分别求出1～384中5，7，11的倍数的个数，再减去其中重复的个数即可。

容斥原理

解答　（1）分母是385的真分数有384个。

（2）因为385=5×7×11，

所以384个分子中，

5的倍数有7×11-1=76（个）

7的倍数有5×11-1=54（个）

11的倍数有7×5-1=34（个）

35的倍数有11-1=10（个）(www.xing528.com)

77的倍数有5-1=4（个）

55的倍数有7-1=6（个）

所以1～384中能被5，7，11整除的数共有：

76+54+34-10-4-6=144（个）

最简真分数有384-144=240（个）

活动4　巧定分母

第3步：假设。分母相等时，5×n=b×m，分子应满足4×n＞ 43×m；

第4步：推理。如果b是5的倍数，那么它们的公分母就是b本身，所以m最小为1；如果b不是5的倍数，那么m必须含有因数5，所以m最小是5。

解答　根据以上分析：

答：a=55，b=55或a=270，b=54时等式成立。

分数性质歌

分子分母同乘除，分数大小值不变；

母大子小真分数，母子互质才最简；

最简真分有多少，分母分解质因数，

挑选搭配来列举，容斥原理定个数。

思维小训练

4.分子与分母的乘积是130，且是最简真分数的分数有哪些？把它们一一写出来。

6.分母是195的真分数有多少个？最简真分数有多少个？

7.分母是105的最简真分数有多少个？

思维小达人