连续工作10年，应在哪家公司？选择标准何在？

知识结构

命题方向

数学应用题的发展在经历了一个由量变到质变的过程后，因此，出现了一些背景贴近生活，既富有时代气息，又有科学依据的题型．它能够很好地考查学生阅读理解能力、信息迁移能力及对数学思想方法的实际应用能力，也是数学教育向大众化、应用化发展的一种必然趋势；因此成为每年高考数学试题的一道必备“大餐”．

解应用题的一般思路：通过阅读理解，抓住“主题词”实现数学建模．

例题精讲

一、函数中的应用题

例题1 某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）之间的数据如下：

（1）根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx；④y＝k·ax．

（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．

解：（1）因为随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的4个函数中y＝ax＋b和y＝alogbx，y＝k·ax显然都是单调函数，不满足题意，所以y＝ax2＋bx＋C．

（2）把点（4，90），（10，51），（36，90）代入y＝ax2＋bx＋c中，

所以当x＝20时，y有最小值ymin＝26．

二、不等式中的应用题

例题2 如图，长方形ABCD表示一张6×12（单位：dm）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板．木板上一瑕疵（记为点P）到外边框AB，AD的距离分别为1dm，2dm．现欲经过点P锯掉一块三角形废料MAN，其中M，N分别在AB，AD上．设AM，AN的长分别为mdm，n dm．

（1）为使锯掉的三角形废料MAN的面积最小，试确定m，n的值；

图1

（2）求剩下木板MBCDN的外边框长度（MB，BC，CD，DN的长度之和）的最大值．

解：（1）过点P分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，则△PNF∽△MPE．

三、三角中的应用题

例题3 我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多．某沿海地区的海岸线为一段圆弧，对应的圆心角∠AOB＝．该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证（如图2：其中海域与陆地近似看作在同一平面内）．在圆弧的两端点A，B分别建有监测站，A与B之间的直线距离为100海里．

（1）求海域ABCD的面积；

（2）现海上P点处有一艘不明船只，在A点测得其距A点40海里，在B点测得其距B点海里．判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD？请说明理由．

图2

所以这艘不明船只没有进入海域ABCD．

四、数列中的应用题

例题4 在一次人才招聘会上，有A，B两家公司分别开出了他们的工资标准：A公司允诺第一年的月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资数2000元，以后每年月工资在上一年工资基础上递增5%．若某人年初同时被A，B两家公司录取，问：

（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的工资收入分别是多少？

（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多为应聘的标准，该人应选择哪家公司，为什么？

（3）在A公司工作比B公司工作的月工资收入最多可以多多少？（精确到1元），并说明理由．

解：（1）设an，bn分别表示第n年此人在A，B公司工作的工资数，则

an＝1500＋230（n－1），n∈N＊；bn＝2000（1＋5%）n－1，n∈N＊．

（2）设An，Bn分别表示数列｛an｝，｛bn｝的前n项和，则

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从而有A10＞B10，

所以此人应选择A公司．

（3）令cn＝an－bn＝1270＋230n－2000×1．05n－1．

当n≥2时，cn－cn－1＝230－100×1．05n－2．

若cn－cn－1＞0，则1．05n－2＜2．3，即n＜19．1．

当n≤19，n∈N＊时，数列｛cn｝递增，此时c19＝a19－b19≈827最大；

当n≥20，n∈N＊时，数列｛cn｝递减，此时c20＝a20－b20≈816最大．

所以在A公司工作比在B公司工作月工资收入最多多827元．

注：利用数列的单调性是求数列最值的方法之一．

五、解析几何中的应用题

例题5 某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图3所示，已知M，N是东西方向主干道边两个景点，P，Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy．

图3

（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；

（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G的位置？

解：（1）因为线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，所以线路AB段所在曲线是以定点M，N为左、右焦点的双曲线的左支，则其方程为x2－y2＝25（x＜0，y≥0）．

因为线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，所以线路BC段所在曲线是以O为圆心、以OB长为半径的圆，由线路AB段所在曲线方程可求得B（－5，0），则其方程为x2＋y2＝25（x≤0，y≤0）．

因为线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，所以线路CD段所在曲线是以定点Q，P为上、下焦点的双曲线下支，则其方程为x2－y2＝－25（x≥0，y＜0）．

故线路示意图所在曲线的方程为x｜x｜＋y｜y｜＝－25．

跟踪训练

1．入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数f（x）与时刻x（时）的函数关系为f（x）＝｜log25（x＋1）－a｜＋2a＋1，x∈［0，24］，其中a为空气治理调节参数，且a∈（0，1）．

（1）若a＝，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；

（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？

2．某地计划在一处海滩建造一个养殖场．

（1）如图1，射线OA，OB为海岸线，∠AOB＝，现用长度为1km的围网PQ依托海岸线围成一个△POQ的养殖场，问如何选取点P，Q，才能使养殖场△POQ的面积最大，并求其最大面积；

（2）如图2，3，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．

方案一：围成三角形OAB（点A，B在直线l上），使三角形OAB面积最大，设其为S1；

方案二：围成弓形CDE（点D，E在直线l上，C是优弧所在圆的圆心且∠DCE＝其面积为S2；

试求出S1的最大值和S2（均精确到0．001km2），并指出哪一种设计方案更好．

（第2题）

3．政府决定用“对社会贡献率”对企业进行评价，用an表示某企业第n年投入的治理污染费用，用bn表示该企业第n年的产值．设a1＝a（万元），且以后治理费用每年都比上一年增加3a（万元），又设b1＝b（万元），且企业的产值每年比上一年增长10%，用表示企业第n年的“对社会贡献率”．

（1）求该企业第一年和第二年的“对社会贡献率”；

（2）试问：从第几年起该企业“对社会贡献率”不低于30%？

4．有一块正方形菜地EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图所示．

（1）求菜地内的分界线C的方程；

（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的“经验值”为设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边、另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的经验值．

（第4题）