上海新高考数学专题攻略，掌握命题方向中档题四项能力

知识结构

命题方向

中档题不仅考查基础知识和基本方法与技能，同时还要考查数学思想方法和运算能力、思维能力、整合与转化能力、空间想象能力．因此，中档以下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，是考生得分的主要来源，所以在答卷中要立争拿下这些“应得分”，就是成功基石！有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更有信心，更放得开．

例题精讲

一、集合与不等式

集合是数学的语言基础，不等式是数学的主要工具之一，因此，这两项内容一直是高考数学试题中的重点和热点，常常和其他知识点融合在一起考查．一般为低中档题，在复习这部分内容时，要立足基础，突出通性通法．

二、函数

函数是贯穿高中数学的一根主线，可以渗透到数学的其他分支．因此，成为高考的热点．函数的“三性”，即单调性、奇偶性、周期性，是函数的核心内容，其中尤以单调性最为重要．近几年的高考试题中有关函数“三性”的考题，不仅有基础题，而且也有新颖独特的中档题和综合性的能力题，且常考常新．为此，在复习时不仅要熟练掌握基本概念；同时，还要注意灵活运用其相关性质及函数思想．

例题2 已知函数f（x）＝lg（x＋1）．

（1）若0＜f（1－2x）－f（x）＜1，求x的取值范围；

（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g（x）＝f（x），求函数y＝g（x）（x∈［1，2］）的反函数．

（2）当x∈［1，2］时，2－x∈［0，1］，因此

y＝g（x）＝g（x－2）＝g（2－x）＝f（2－x）＝lg（3－x）．

由单调性可得y∈［0，lg2］．

因为x＝3－10y，所以所求反函数是y＝3－10x，x∈［0，lg2］．

三、三角

在高考数学试题中，对三角要求不高，一般为低中档题．主要考查应用角的变换求值、解三角形、三角函数的图像及性质，也可以与其它知识点相互渗透，突出三角的工具性作用，在复习这部分内容时，要立足基础，突出通性通法．

则两边同时乘以sinAsinB，可得sinBcos A＋sinAcosB＝sinAsinB．

由和角公式可知，sinBcos A＋sinAcosB＝sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sinC，

原式得证．

四、复数

在高考数学试题中，对于复数要求不高，主要考查复数的代数式、复数相等的充要条件及方程的解，在复习过程中应立足通性通法．

五、立体几何

在高考数学试题中，对立体几何的考查一是直线与平面的位置关系；二是空间度量；三是多面体及旋转体的计算．其题型一般是基础题、一道解答题．高考命题设计的立意是坚持考查逻辑推理能力和空间想象能力，以几何体作为依托把论证与计算的几何问题寓于其中，属于中档题，因此．复习时要立足基础，牢牢抓住通性通法．

例题5 如图1，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°．

图1

（1）求四棱锥P－ABCD的体积；

六、解析几何

圆锥曲线是高考中重点考查的内容，客观题和解答题均有考查，客观题主要考查对圆锥曲线的定义、性质、几何意义的理解与应用，解答题主要以直线与曲线相交，曲线与函数、不等式、数列综合为载体，考查对基础知识、基本方法、基本思想的理解与灵活运用．

例题6 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A，B两点．

（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么＝3是真命题”；

（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

解：（1）证明：设过点T（3，0）的直线与抛物线y2＝2x相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．

七、数列

数列既是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位．高考对本章的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏．解答题多为中档题或能力题，基础题主要考查灵活运用数列的有关定义、公式及性质；解答题则是数列与函数、方程、不等式、几何、向量等知识点的综合，着重考查函数与方程思想、转化与化归、分类讨论等重要思想，突出考查考生的思维能力，分析问题解决问题能力．

例题7 已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N＊．

（1）证明：数列｛an－1｝是等比数列；

（2）求数列｛Sn｝的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由．

所以，当n≥15时，数列｛Sn｝单调递增；(www.xing528.com)

同理可得，当n≤15时，数列｛Sn｝单调递减；

故当n＝15时，Sn取得最小值．

八、应用题

近年来，应用题的发展由量变到质变，出现了许多情景新颖，富有时代气息，有科学依据，切合实际，更贴近生活的题型．数学应用题作为高考的一道“大餐”，已成为不争的事实．它是考查阅读理解能力、信息迁移能力和数学思想发展的实际应用能力的重要形式；也是当今国际数学教育面向大众化和应用化发展的一种必然趋势．而如何将一个用文字叙述的应用题根据其实际意义概括抽象为一个纯粹的数学问题，同时抓住命题中所蕴含的数学信息，恰当准确地转变为一个数学模型，则成为学生解应用题的关键．

例题8 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图3）．考察范围为到A，B两点的距离之和不超过10km的区域．

图3

（1）求考察区域边界曲线的方程；

（2）如图所示，设线段P1P2是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0．2 km，以后每年移动的距离为前一年的2倍．问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？

解：（1）设边界曲线上点P的坐标为（x，y），则由｜PA｜＋｜PB｜＝10知，点P在以A、B为焦点，长轴长为2a＝10的椭圆上．此时短半轴长＝3．

所以考察区域边界曲线（如图）的方程为＝1．

图4

解得n＝5，即经过5年，点A恰好在冰川边界线上．

跟踪训练

1．已知集合＋1，x∈（－1，2）｝，B＝｛x｜｜x－m2｜≥．

命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．

2．设a＞0，函数f（x）＝．

（1）若a＝1，求f（x）的反函数f－1（x）；

（2）求函数y＝f（x）·f（－x）的最大值（用a表示）；

（3）设g（x）＝f（x）－f（x－1）．若对任意x∈（－∞，0］，g（x）≥g（0）恒成立，求a的取值范围．

3．已知函数f（x）＝sinx．

（1）设a∈R，判断函数g（x）＝a·的奇偶性，并说明理由；

（2）设函数F（x）＝2f（x）－对任意b∈R，求y＝F（x）在区间［b，b＋10π］上零点个数的所有可能值．

4．在复平面内复数z1，z2所对应的点为Z1，Z2，O为坐标原点，i是虚数单位．

5．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．

（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；

（2）设PO＝4，OA，OB是底面半径，且∠AOB＝90°，M为线段AB的中点，如图所示，求异面直线PM与OB所成的角的大小．

（第5题）

6．已知点M（－2，0），N（2，0），动点P满足条件｜PM｜－｜PN｜＝记动点P的轨迹为W．

（1）求W的方程；

（2）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值．

7．已知数列｛an｝和｛bn｝的通项公式分别为an＝3n＋6，bn＝2n＋7（n∈N＊），将集合｛x｜x＝an，n∈N＊｝∪｛x｜x＝bn，n∈N＊｝中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，cn，…．

（1）求c1，c2，c3，c4；

（2）求证：在数列｛cn｝中，但不在数列｛bn｝中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；

（3）求数列｛cn｝的通项公式．

8．某辆汽车以x km／h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为L．

（1）若汽车以120km／h的速度行驶时，每小时的油耗为11．5L，欲使每小时的油耗不超过9L，求x的取值范围；

（2）求该汽车行驶100km的油耗y关于汽车行驶速度x的函数，并求y的最小值．