学习内容范围分析，数学教学设计案例分析

学习内容的范围是指学习课题的范围或知识领域。其范围越大，知识点越多，学生的学习行为也就越复杂。学习内容范围的分析主要包括：一是学习内容的广度分析，即学生在现有水平上必须和可能达到的知识、技能的范围和要求；二是学习内容的深度分析，即学生在现有水平上必须和可能达到的知识深浅程度和能力的质量水平。

学习内容的广度主要是指知识点的数量。就一节数学课而言，并非知识点越多越好。量过大，学生不能消化、理解，学后忘前，不深不透，甚至前后干扰，这样还不如少学点。另外，如果这些知识点之间缺乏非人为的实质性联系，学生不是进行有意义的数学学习，而只是机械记忆，这样的知识至多能够应付一时的考试，却无法转变成能力，是惰性知识，不能应用。因此，知识点的数量应当适中。

学习内容的深度即指内容的深浅程度，通常称为难度。衡量知识深浅程度的参照标准有两个：一是学生的知识基础与认知水平，二是数学知识结构的关系。一方面，现代教学设计要求为每一位学生设计适合他们各自水平的学习内容，提倡个别化教学。因此，《义务教育数学课程标准（2011年版）》希望实现“人人都能获得良好的数学教育”“不同的人在数学上得到不同的发展”。另一方面，从数学知识内部结构关系分析，学习内容的深浅度也有一个相对客观的标准，这个相对客观的标准可以参照徐利治提出的数学抽象度和抽象度分析法。所谓抽象度就是指“用以刻画一个概念抽象层次”，抽象度分析法是用来“描述一系列抽象过程难易程度”的一种方法。数学概念之间的抽象关系可划分为弱抽象、强抽象和广义抽象。^[3]这样，我们可以依据新学习的知识与学生已有知识之间的抽象关系，将新学习内容的深浅度相应地划分为高难度、低难度和中等难度三种。(www.xing528.com)

在分析学习内容范围的过程中，教师既要按照教学目标和课程内容来选择学习内容，确定范围，也要考虑学生的实际状况来挑选素材，甚至可以自编素材，依据学生的知识基础和认知水平来组织教学内容。

例如，要求学生掌握勾股定理，我们可以选择测量各种各样直角三角形三边的长，让学生在测量、操作、计算中发现规律；也可以利用我国古代数学家获得勾股定理的方法，如赵爽图等，让学生经历再发现的过程；还可以选择毕达哥拉斯发现勾股定理的方法。在这些选择不同处理内容的方法中，实际也就隐含着内容深度的要求问题。如第一种设计，在理解和掌握勾股定理的本质上不如后面的设计所能够达到的深度，但它较适合低龄儿童的认知特点，而第三种设计，内容选择形式化、抽象程度较高，要求学生进行深层次的思维活动。在选择学习内容时，我们可能有多种选择，教师应当根据学生的特点、课程目标等因素全面衡量后再做出抉择。