中美中学理科教材比较研究:数学内容结构对比

本研究主要比较研究中美初中教材的“数与代数”领域，将数与式又分为两部分：数系扩张和多项式。而由于方程和不等式的密切联系，将两者合为一类，方程与不等式。在以下的比较中，将从数系扩张、多项式、方程与不等式和函数这四个板块分别对中美教材进行比较分析。

1.数系扩张

初中教材中的数系扩张主要表现在两方面：一是负数的引入，即扩张到有理数。这时的数所传达出的信息不仅有数量，而且有符号（方向）。这为进一步学习代数式、方程等知识打下了基础。二是无理数的引入，即从有理数扩张到实数。这之后，学生对勾股定理的理解和应用将会上升一个层次，也为以后学习一元二次方程、函数及几何领域的一些知识打下了基础。这方面的比较见表1-18所示。

表1-18　两国教材数系扩张比较

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初中数学数系扩张主要包含有理数和实数两个部分。中美两国教材在这部分的内容容量基本是相同的，但也有不同之处。有理数这部分中，美国教材分散在三册书中，共用了四章讲解，在一二册中，虽然引入了负数及其运算，但却一直将其隐含在讲解正整数及其运算中，直到第三册的第七章，也是讲解有理数的最后一章，才将负整数上升到有理数这个层面上。但在我国教材中，有理数的概念只在7年级上册用一章讲解，并在本章的开始就给出了明确界定。在直角坐标系中描点表示有理数这一内容，为函数的学习打下了基础，也突出了美国教材注重知识内部联系这一特点，而我国教材用单独一章讲解位置的确定，其主要内容也就是在直角坐标系中确定由有理数和实数组成的数对。实数这部分中，中美教材差异较大些，我国教材中的立方根、用计算器开方的内容美国教材中都没有，而美国教材中的完全平方数这一概念，是我国小学的内容，在初中的教学中并没有明确地指出，而“用韦恩图表示有理数系、实数系的关系”这一知识点渗透了集合思想，而集合的内容是我国高中的知识，在初中教材中并没有提及。

2.多项式

多项式知识可以说是从“算数”到“代数”的一个过渡，它使学生认识了一门新的“符号语言”，为数学交流提供了一种有效的途径，也是数学作为基础学科的一个表现。虽然在初中学段的多项式这部分中，只学习了用字母表示数及一些简单的代数式的运算，但这却是代数思想的最初渗透，也是学习方程和函数的基础。这也发展了学生的符号感、符号运算能力及数学推理能力。这方面的比较见表1-19所示。

表1-19　两国教材多项式的比较

多项式主要讲解了字母表示数、整式的运算、分解因式和分式四部分。在字母表示数这部分，除了在探索规律后，美国教材继续讲解了数列的相关知识外，中美两国教材在这部分所讲解的知识点是相同的。但在呈现方式上，却表现出来很大的不同，作为代数的基础知识，我国教材主要是把知识点集中到一章中，这种讲解有利于学生的系统学习，扎实记忆，在学完这一章后，能对代数有很好的理解。但美国教材是在每册书的第一章用一节的时间讲解变量和代数式，并且把求代数式的值渗透到全套书的各章节中，这样看起来虽然零散，但却使学生在不断地重复训练中，掌握了这一知识点。可以说两国教材的呈现方式各有优点。在整式运算这部分，中美教材的最大差异就是美国教材引入了“代数瓷砖”这种很形象的表示方式，就像在整数的运算中引入“筹码板”一样，力图将一种新的较复杂的运算用一种很直观的方式表现出来，更易于学生的接受。在接下来讲解多项式运算中，美国教材类比数的运算，也采用了列竖式的方式，将同类项对应，这也较之恒式更为直观，也体现了美国教材呈现方式的一个特点——直观。我国教材在整式运算这部分中，用了两整节的时间讲解平方差公式和完全平方公式，掌握这两个公式，不仅可以使部分整式运算简化，还为下面学习因式分解作了铺垫。而在美国的教材中，仅在一个例题中涉及计算公式（1+r）2=1+2r+r2，也并没有明确指出这就是完全平方公式。

因式分解的内容虽然两国教材中都有，但相比我国系统的讲解因式分解的方法，美国教材只是做了简单的介绍，所讲解的只是猜想法和用代数瓷砖演示的方法，并没有真正的逻辑推导。而我国教材中，不仅讲解了提取公因式法，由于有前面学习平方差公式和完全平方公式的基础，还重点讲解了公式法分解因式，这也是在以后的学习中常用的方法。关于分式，我国教材不仅讲解了分式的概念、基本性质，还讲解了分式的加、减、乘、除运算法则及其应用，但在美国教材中，分式的内容却未有提及。

3.方程

著名的荷兰数学教育家弗赖登塔尔说过“与其说学习数学，倒不如说学习‘数学化’”。方程就是将众多实际问题“数学化”的一个重要模型。它以最简单的方式向人们证明，数学不是一门枯燥、脱离实际的课程。两国教材在方程这方面的比较见表1-20所示。(www.xing528.com)

表1-20　两国教材方程的比较

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方程这部分内容中，中美差异非常大，美国教材只系统地讲解了一元一次方程，但其讲解的方程解法很丰富，包括用方程板解方程，由已知的算术运算通过猜想和检验解方程，用等式性质解方程。而我国教材主要是讲解用等式性质解方程，这也可以看出，我国教材还是比较重视用演绎推理的方式讲解知识。在一元一次方程应用这部分，美国教材中的例题并不多，但其解法却多数很严格的遵照其在第一章中讲解的Four-step plan方法按步解决问题。而我国的教材中，编者们编设了大量不同的问题情境，以突出一元一次方程的应用。一元一次不等式的内容在两国教材中讲解的内容基本是相同的，只是美国教材并没有把这部分内容作为单独的一章，而是将它与方程放在一起。其所讲解的不等式解法，实际都是先将不等号换为等号，在解完方程后，再选择不同范围内的两个数，将其代回原不等式，通过计算它的值来判断不等式解中不等号的方向，因此，我们也可以说，美国教材实际上并没有讲解如何按等式的性质解不等式。对于二元一次方程（组），美国教材主要是讲解如何通过画图确定根，我国教材则是很系统的讲解了关于二元一次方程（组）的知识。而一元二次方程和分式方程，美国教材都没有相应的讲解，从这一点上看，美国教材的容量远少于我国教材。但是，美国教材虽然容量少，呈现方式却很多样化，比如方程解法，美国教材就用了方程板、猜想和利用等式性质三种方式讲解。

4.函数

世界是变化的，人们总是希望能更好地认识现实世界、预测未来。函数就是研究现实世界中的变化规律的一个重要模型，它使学生从常量的世界进入了变量的世界，开始接触一种新的思维方式。两国教材在函数这方面的比较见表1-21所示。

表1-21　两国教材函数的比较

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函数这部分知识在我国初中主要涉及四部分：变量之间的关系、一次函数、反比例函数和二次函数，各为一章。变量之间的关系这一内容，我国教材作为一章讲解，通过小车下滑、变化中的三角形、温度、速度的变化几个例子，从实际应用中让学生体会变量及其变量之间的关系。而美国教材将变量知识分散融入到不同的章节中，以输入、输出的观念向学生渗透两个变量之间的某种依赖关系，并通过填函数表格加深理解。

在函数的分类讲解中，我国教材各用一章，从函数的定义、表达方式、作图象及图象的性质、函数的应用等角度，较系统的讲解了一次函数、反比例函数和二次函数。但在美国教材中，在介绍了函数的定义外，重点还是放在函数的图象上，包括根据函数表格画函数图象，这与美国教材一贯重视直观的呈现方式是相吻合的。在讲解一次函数的表达式时，美国教材中引入了f（n）这种表达方式，并有定义域、对应法则、值域的相关概念，虽然在讲解函数概念时，依然是从两个变量的关系角度给的定义，但这一串概念的给出，也可以看到映射思想的影子，这种思想正是我国高中教科书中讲解函数的方式。

反比例函数在美国教材中没有讲，这与学生的基础有关。在美国教材中，虽然讲解了比例式，但作为反比例函数知识基础的正比例、反比例没有讲解，而且对一次函数的讲解也不够深入，没有以上知识做基础，学生是很难学习反比例函数的。

通过上面四个方面的比较，我们可以看出，美国教材“数与代数”领域的知识，虽然在数系扩张、多项式、方程和函数四个板块都有相应的内容，只是每部分内容总容量都比我国教材少。但美国初中教材的“数与代数”领域是从小数运算、分数运算讲起的，美国初中教材三册共39章，其中用了11章讲解这些内容，这些都是我国小学数学的内容，由于起点较低，很自然在讲解代数时，每部分知识点的容量就少。但美国教材在第三册的“数与代数”领域中，还讲解了等差数列、等比数列的相关概念，等差数列的通项公式，二阶矩阵及其加减运算，这些都是我国高中数学的知识，由此也可以看出，美国数学教材仍沿用了一贯的“宽而浅”的设计思路。