一般系统结构状态方程及错误系统方法研究

在上述基本概念的基础上，能够运用数学证明如下定理。

引理4.1.1　设在环境E(S)中，系统Z(n)在t时刻具有系统结构R z(t)、系统状态S z(t)和系统行为H z(t)，如图4-3所示，那么，恒有如下固有关系：

式中，R(t)表示在t时刻环境E(S)与系统Z(n)间的关系[13]。

图4-3　系统Z(n)[13]

定理4.1.1　设在环境E(S)中，系统Z(n)在t时刻具有某一层次l 上的系统结构R zl(t)、系统状态S z(t)和系统行为H z(t)，如图4-4所示，那么，恒有如下固有关系：

式中，R(t)表示在t时刻环境E(S)与系统Z(n)间的关系。

图4-4　系统Z(n)[13]

证明：不失一般性，不妨假设：在环境E(S)中，系统Z(n)在t时刻具有层次l上的系统结构R zl(t)，并且，层次l上的任一部分e(p)∈Z(n)在t时刻具有子系统结构R e(p)(t)(p＝1，2，…，n；n≥2)。另外假设在t时刻与部分e(p)存在关系的部分为e(p i)∈Z(n)(i＝1，2，…，k；k≥0)，Se(p)和spi分别为e(p)和e(p i)的状态，如图4-5所示。

图4-5　部分e(p)及其关系[13]

或

不失一般性，不妨令

而

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由林福永等[13]的研究可知

经整理得

可知

即

同理可得

证毕。

定义4.1.8　设在环境E(S)中，系统Z(n)在t时刻具有某一层次l 上的系统结构R zl(t)，如果对于层次l上的每一部分e(p)∈Z(n)，它的状态Se(p)仅是系统环境E(S)以及与它存在关系的部分e (p i )∈Z(n)的状态spi(i＝1，2，…，k；k≥0)的函数，即Se(p)＝Φp(S，sp 1，sp 2，…，spk)，那么，层次l就称为基层次，记为。

定理4.1.2　设在环境E(S)中，系统Z(n)在t时刻具有基层次H d 上的系统结构R zd(t)、系统状态Sz(t)和系统行为H z(t)，并且其关系环数为零，即θd＝0，那么，对于任一关系Ri，j(t)∈Rzd(t)，恒有

成立[13]，进一步可以得到

式中，R(t)表示在t时刻系统环境E(S)与系统Z(n)间的关系。本定理的证明请参看林福永等[13]的研究。

基于定理4.1.1与定理4.1.2，可以得到一个描述一般系统的模型，即一般系统结构模型：

特别地，当系统具有基层次结构且其关系环数为零时，那么其模型可表示为