船舶波浪运动理论：附带质量阻尼系数

船体在自由面上摇荡时受到船体的反作用力和力矩，它们在各坐标轴上的分量可由流体压力在相应坐标轴上的投影沿船体的瞬时湿表面积分得到。若只计入流体动压力，并与本章讨论的前提一致，精确到ε一阶量，则场内的流体动压力可记作式（2.55）的第二式，即

式中，Φ为一阶辐射势，它由式（5.4）和式（5.7）所定义，即

这里ω为船舶摇荡的圆频率；下标j表征摇荡运动的模态；为第j个运动模态的复数运动幅值；φj（x，y，z）为相应于第j模态运动的规范化速度势。φj可由5.2节所述的方法求得。将上式对t求导，可得

由于船体作微幅振荡运动，瞬时湿面积S与平均湿面积S 0之差是ε的一阶小量，即S=S 0+ΔS=S 0+O（ε）。一阶压力在量级为O（ε）的瞬时湿面积变动部分ΔS上的积分将是一个高阶量。因此，准确到ε阶时，流体动力只需将一阶压力沿平均湿表面积分，即

式中，j=1，2，…，6表示相应的运动模态；F j为j模态运动时遭受的水动作用力（j=1，2，3）或力矩（j=4，5，6）；为广义单位法线矢量的各分量，其在第4章中已作过定义，即

式中，j、m、n均可取值1～3。

按式（5.43）和（5.44），流体作用力可进而记作

其中第二个等式利用了规范化速度势的物面条件。若引入符号

则流体动力又可写成

这里已经应用了式（5.2），即船体摇荡的位移、速度和加速度分别为

式（5.47）表明，作用在摇荡船体上的广义力（流体动力或力矩）由两部分所组成，一部分与摇荡运动的加速度成比例，但相位差180°，与物体在无限流场中运动时的情况类似；另一部分与摇荡运动的速度成比例，方向相反，这一部分力的产生是自由面存在时所特有的现象。前一部分力的比例系数μjk称为附加质量（added mass）；后一部分力的比例系数λjk称为阻尼系数（damping coefficient）。

附加质量μjk可组成一个6×6的矩阵。但其中并不是每个元素都具有“质量”的量纲。若j、k=1，2，3，μjk的量纲是质量；若j=1，2，3，k=4，5，6或者反过来j=4，5，6，k=1，2，3，则μjk有质量矩的量纲；在j、k=4，5，6时，则μjk有质量惯性矩的量纲。同样，阻尼系数λjk亦可组成一个6×6的矩阵。按分别取1，2，3或4，5，6的组合，矩阵中元素的量纲亦有类似于附加质量的变化，这留给读者自证之。

1）船体辐射的能量

前文提到，物体在自由表面附近振荡，有波浪向四周辐射，波浪带走的能量由物体提供。为揭示振荡物体向外输送的能量与阻尼系数λjk的关系，现考察物体在一个周期内对流体所做功的平均速率（即平均功率）。物体作用在流体上的广义力是-F j，功率是-，其在一个周期内的平均值是

式中，下标R和I仅表征或实部和虚部，或则为j或k运动模态的复数幅值。从上式显然可见，附加质量与能量辐射无关，它是由物体运动引起的周围流场中流体的惯性运动所致，当物体作简谐摇荡时，在半个加速周期中因物体运动而积聚在流体中的能量（指与辐射能量无关的那一部分能量）在接着而来的半个减速周期中又全部还给了物体。同样从式（5.48）中可知，辐射能量与λjk密切联系，这部分能量显然是由物体提供的；也就是说，物体的动能主要消耗在波浪的扩散上。若物体因某一瞬时扰动而产生自由摇荡，则由于能量消耗，摇荡逐渐衰减以至物体复归于静止。在这一意义上λjk称为阻尼系数。

2）附加质量与阻尼系数矩阵的正定性与对称性

此外，由式（5.48）还可以知道，物体提供的能量总是正的，即

上式一般在，都等于零，即物体无运动时才成立。因此，｛λjk｝矩阵是半正定的，其中对角线元素λjj一般大于零。对某些特定的频率，或某些特殊形状的物体，λjj中可能有一个或几个为零，但不会全部为零。

关于附加质量矩阵，当物体在无限流场中运动时，可以证明它也是半正定的，但有自由面存在时，这个结论不再成立。事实上，奥吉尔维（Ogilvie）曾提供过一些例子，在某些频率范围内，μjj中会有负值出现［133］。

与无限流场中运动情况的另一个不同点：有自由面存在时，无论是附加质量还是阻尼系数都是随振荡频率ω变化的，因为势函数φj须满足的自由面条件中含有参数因子ω2／g。(https://www.xing528.com)

但即使在有自由面存在的情况中，附加质量和阻尼系数对下标的对称性依然成立，即事实上，考察一个流体域τ，它为物面自由面S 0、池底S B及一个半径无限大的圆柱面∑R所包围。因φj（x，y，z）在域τ中是处处调和的，由格林公式可得

式中，沿池底的积分因在S B上而消失；沿自由面S F上的积分，在应用自由面条件后，有

在无穷远处的辐射控制面上，积分可记为

由辐射条件容易看出，上述积分值亦趋于零。于是式（5.50）中只剩下物面S 0上的积分，即

或者

这就给出

从而式（5.49）成立。根据下标对称关系的存在，附加质量矩或阻尼矩阵的36个元素中只有21个可能是独立的。

顺便要指出的是，关于下标的对称关系只在物体无前进速度时才成立，若物体有平均前进速度，这一对称关系总体不再成立。这一点及其原因在下一节中将进一步解释。

由于船体一般是对称的，μjk或λjk的21个独立的元素中有相当一些元素事实上为零。例如船体关于纵中平面oxz（或记ox 1x 3）对称，这时船体表面的对称点上有下述关系：

对照物面条件

从而φj具有下列关系：

相应地根据μjk的定义

可以发现，积分核在关于ox 1x 2的对称点上成奇函数时，μjk=0，即

换句话说，j和k按下表搭配时，其μjk=0：

如船体关于oyz平面（或记为ox 2x 3平面）也是对称的，即前后也对称，则除有上述零值外，当j和k按下表搭配时，也有μjk=0：

对于特殊形状的物体，甚至主对角线上也有可能有某一个或几个元素为零。例如对半浮水平圆柱体，设ox 1轴为其旋转对称轴，则有μ44=0；更特殊的情况，对半浮圆球，则有μ44=μ55=μ66=0，且μ11=μ22。

以上的论述同样也适用于阻尼系数λjk。

3）克拉默-克朗尼格关系

最后指出一点，但不加证明，那就是虽然μjk和λjk是两个不同的物理量，但却由统一的定义（5.46）联系着，是一个复数量的实部和虚部，它们两者之间存在着固定的关系，称为克拉默克朗尼格（Kramers-Kronig）关系：如果知道λjk（ω）或［μjk（ω）-μjk（∞）］两者之一，就可用这组关系去计算另一个，其中积分取柯西主值。这组关系首先出现在其他物理问题中［134］，其在船舶流体力学中的应用是考梯克（Kotik）和门古列斯（Mangulis）引进的［135］。