提高船舶运动理论：质量和阻尼系数的表达

本节将给出切片方法中流体动力系数（即附加质量和阻尼系数）的表达。在推导这些表达式之前，我们先阐述切片法的理论基础，即如何将三维问题简化为各别的二维问题（见图8.2）。

切片理论主要立足于船体细长的假定。所谓细长，指的是船体横向尺度远小于船长，若设ε为小参数，则B／L=O（ε）和T／L=O（ε），其中L为船长，B为船宽，T为吃水；而且横截面沿纵向的变化是缓慢的。如外部对流场的扰动沿船长方向不是剧烈变化的话，则细长船体附近的流动由于受到船体形状的制约，它在纵向的变化与横剖面内的变化相比是个小量。由船体摇荡引起的流动即是如此。而在入射波（特别是迎浪状态）引起的绕射流动中，因入射波在船长方向可能变化相当大，需要特殊考虑，这将在下一节中处理，这里只涉及由船体摇荡引起的辐射势及相应的辐射问题。

由于船体细长，当船体作摇荡运动时船体附近流体运动速度将有如下的量级关系，即

图8.2　船体切片与坐标系

它说明流体沿x方向的速度分量与横剖面内的速度分量相比要小一个量级。对φ求二阶偏导，则有

即　

这样，在船体附近，控制流动的三维拉普拉斯方程中可略去高阶小量，从而使三维拉普拉斯方程演变成二维形式：

当船体有航速且作简谐振荡时，自由面条件可记成

我们认为，尽管在自由面上流动有某种自由度，但主要仍受船体形状的支配。于是，当U 0和g都是量级O（1）时，含项与上式中其他项相比是高阶小量，可以略去，于是式（8.2）暂且可写成

因为是个大量，若要保留上述这一波浪型的自由表面条件，必须要求ω=。这是切片理论的另一个主要假定，也是切片法的应用限制之一。它表明对于低频运动或激振的来波波长大的情况切片理论不再适用，切片理论只适用于频率为量级的高频范围，或者说入射波波长与船宽同量级的短波情况。

上述拉普拉斯方程和自由面条件对除纵荡速度势以外的其他各模态的辐射势φj（j=2，3，…，6）均适用。对纵荡运动来讲，由于船体细长，故在横方向激起的流体运动亦将是小量，它可能与流体纵向流动是同量级的，因此，不能用上述办法处理，亦即切片法不适用于纵荡运动。这是切片法应用的又一限制。

由于船体是细长的，船体表面单位法线矢量在各坐标轴上的分量n j（j=1，2，3）中n 1≪n 2或n 1≪n 3，且n 2及n 3与其相应纵向位置上横剖面周线单位法线矢量的分量N 2和N 3相差为小量，即

相应地

这时φj满足的物面条件为

事实上，若设φ5=-xφ3，φ6=xφ2，则只要求得φj（j=2，3，4），其他两个速度势实际上是已知的。从上述物面条件可知，尽管随船体纵向位置x不同，N j（j=2，3，4）是变化的，但x只作为一个参数出现，尽管各横剖面的形状不同，物面条件实际上对任一横剖面周线成立，即

式中，C（x）为纵坐标x处横剖面的平均湿周线，即截S 0而得的周线。从上述方程和边界条件可以推断φj应该能够在个别的横截平面上求解，接下来检查辐射条件是否也可以二维化。

如果在船体横截平面上求解φj，则是二维流动问题，在波浪型自由面条件制约下，φj须满足二维辐射条件，即有二维波在远处沿船的左右方向传播出去。显然，这一辐射条件与原先的三维辐射条件不同，故切片法得到的解只适用于物体近旁。用奇异摄动理论中的匹配渐近展开法可以证明，上述解是近场解或内解，适用于离物体的距离为O（ε）量级的范围。同样，我们可求解出远离物体的远场解或外解，并且可以证明，在两个解匹配（通俗一点讲，两解连接）时，远场解为近场解提供的辐射条件正是二维外传波的形式［11，15］。因此二维辐射条件的提法也是恰当的。

一般来说，（x；y，z）中可含任意函数f（x），它体现了不同横剖面间的流体动力干扰。但在切片理论中f（x）=0，因为它的存在不满足波浪型的自由面条件。这表明，在切片法及其假设的前提下，各横剖面间流动不相干扰。在数学处理上，由于不存在未定函数f（x），近场解是唯一确定，即

式中的上标2D指二维解，可从二维横截面内流动解出，x只是一个参数。从工程计算的意义理解，船体受力取决于表面的流体压力分布，这是由近场解决定的。近场解或内解既然可以脱离远场解而唯一确定，故可置远场解不顾，这正是通常切片理论的做法。

二维辐射势的决定也可应用格林函数法，这将在8.3节中介绍。现在我们暂且认为（x；y，z）是已知的，来进而推导切片意义下流体动力系数的表达。(www.xing528.com)

第5章中，我们已经得到了有航速的细长船舶作摇荡运动时流体动力系数A ij（i，j=1，2，3，4，5，6）的表达式（5.63）。该式在切片理论中可进一步简化。以其中第一式

为例予以说明，其余可类推。这里纵荡运动模态已略去，其原因如前所述，即切片法不适用于该运动模态。

由于船体是细长的，完全可以令d S=d x d l，其中d l是沿横截面周线的微弧段，于是式（8.6）可记为

式中，L为船长，意味着积分沿整个船长方向进行。考虑到φj及n i与及N i的关系，上式还能更加明确地写成

式中，x只在外层积分中看作是变量，在内层积分中只是个参数。设

则式（8.7）可写成

式中，a ij与x有关，a ij定义为剖面的流体动力系数，相应地和分别可称为剖面的附加质量和阻尼系数，下一节将阐述它们关于下标是对称的。即

其中μij和λij为船体总的附加质量和阻尼系数。式（8.8）表达了在切片法中船体附加质量和阻尼系数的计算式及其与剖面附加质量和阻尼系数的关系（对i，j=2，3，4）。即

式（5.63）中其余各式也可按上述步骤在切片意义下重新写出。则它们的最终结果为

由式（8.9）可知，A ij和A ji满足梯曼和纽曼证明的对称关系，即其中速度相关项表达相同，符号相反；速度无关项表达相同，符号也相同。式（8.9）对附加质量和阻尼系数的表达与STF法的无艉端修正时的结果完全一致，读者不妨自行比较。

对具有浸水方艉的船型（transom form），当航速较高时，水流沿船侧和船底平顺地向后流出，艉封板不再浸水。对此，STF法中引进了艉端修正项，它源自用斯托克斯公式消除流体动力系数表达式（5.59）中含的积分时对表面S 0的周线的描述。按第二斯托克斯公式（详见第2章），并令其中V=iφ，则得到式（5.60），即

式中，C为表面S 0的边界周线；d l为C上的微段矢量，它的走向以与S 0的法向矢量构成右手定则为准；n是S 0的内法线单位矢量。对方艉船的情况考虑，C除了含静止时的水线C W外，还应包括一段艉封板的周线C A（见图8.3），即C=C W+C A。于是上式变为

图8.3　方艉船水线与艉封板周线

其中已略去了含n i的面积分和水线C W上的线积分，因为按船体细长的假定，这些项是高阶量，可略去。式（8.10）还可写成

当i=4，5，6时，也可相应地证明

其中m 4=0，m 5=n 3，m 6=-n 2。将式（8.11）及式（8.12）代入式（5.59）中，不难求得对流体动力系数的艉端修正。若以记艉端修正项，以记艉封板处剖面的流体动力系数，x A为艉封板的纵坐标，则艉端修正项可记为

式（8.13）可依次序加入到式（8.9）中。

若船舶没有航速时，简单地令式（8.9）中U 0=0，即得无航速时流体动力系数A ij的表达式，这时有A ij=A ii。