船舶波浪上运动理论:波群的诱导长波

第3章中已经证明，无限深水重力波的一阶速度势解实际上精确到三阶，这一结论对单一频率的规则波无疑是正确的，但是，当波浪是不规则的，尽管我们可以把它看作是许多不同频率、相位的规则波的线性叠加，叠加后的速度势却仅适用于一阶问题，不满足二阶自由面条件。事实上，由于这些一阶波之间的干扰或耦合，将伴有低频的长波产生，这种波被称作诱导长波（set down）。诱导长波引起的作用力不容忽视。有报告指出，平均波高为0.2～0.4 m的诱导长波可以使港内系泊的船只产生很大的位移甚至使系泊锚链断裂［239］。本节，首先从含两个规则波成分的波群着手介绍诱导长波的概念，然后推广到一般的不规则波。

设有两列不同频率的规则波系向同一方向（如x正方向）传播，场内的一阶速度势记作

式中，下标1，2分别表示不同波系；A 1，2为波幅；ω1，2为波的振荡圆频率；为波数；δ1，2为波的相位。上式已说明在无限深水情况中考虑的问题。

将上式代入二阶自由面条件式（12.31）中，经整理，可以找到这时的二阶速度势为

这里已经假定ω1＞ω2，即隐含地假定，而且与第3章的解法一样，略去了那些可以吸收到一阶解中去的二阶量。

根据式（2.51）～式（2.53），这时波面位移为

由式（12.48）和式（12.49）可知，虽然速度势Φ（2）中不含有（ω1+ω2）项，但波形中仍有含（ω1+ω2）的项出现。当频率ω1与ω2很接近时，ζ中含（ω1-ω2）的项就代表二阶低频长波，即诱导长波，Φ（2）就是相应的速度势，由此可决定诱导长波引起的流体动压力。

为弄清诱导长波与波群的关系，考察A 1=A 2，δ1=δ2的一个特例。这时，略去高频振荡量，波形可写成

由此可知，一阶波群的包络为

它的移动速度，显然这也是诱导长波的移动速度。可见，诱导长波不是个自由波系，它锁制（lock in）于波群内部，以与波群相同的速度传播，故它的周期也与波群相同。而且由式（12.50）和式（12.51）可知，诱导长波的波峰与波群包络的波谷对应，诱导长波的波谷与波群包络的峰值对应。这一现象的物理解释或是：在波群包络的峰值处，流体质点的动能增加，为了保持能量守恒，其位能趋于减少，平均水位下降；类似地，在波群包络的波谷处，出现相应的水位上升，增加位能以平衡动能的减少；这样，波群中平均水位的振荡就形成低频的诱导长波。诱导长波的物理图像如图12.2所示。

图12.2　波群中的诱导长波

诱导长波的波数（k 1-k 2）与振荡圆频率（ω1-ω2）之间不满足色散关系。但是，当诱导长波遇到岸壁反射或遇物体绕射后，反射或绕射波将是自由波系，振荡圆频率仍是（ω1-ω2），但波数不再是（k 1-k 2），而应由来决定。这意味着反射波或绕射波的传播速度将不同于诱导长波。这一结论在水深有限时也是成立的。

对于不规则波，同样存在着诱导长波，文献［240］应用多重尺度法严格地讨论了这一问题，这里仅列出其结果。(www.xing528.com)

若不规则波的一阶速度势为

波形为

则二阶速度势Φ（2）为

其中αi=k ix-ωit+δi，αj仿此。相应的二阶波形是

为了保证式（12.52）满足池底条件，已经假定k i＞k j，即k 1＞k 2＞k 3＞…。上面两式中含αi-αj的项即与前述诱导长波一致，或可谓不规则诱导长波。

另一个有意思的问题是两个频率相同的波系，方向相反地传播时的二阶干扰，其结果将在流场中产生一个处处均匀的二阶脉动压力场。

事实上，这时流场中的一阶速度势为

可得到满足二阶自由面条件式（12.31）的解Φ（2）：

它导致一个脉动的二阶压力场：

这一压力场在流场内是处处均匀的。如果对高频载荷感兴趣的话，那么上述压力场将对浮体的垂向力分量产生影响。

按这一结论，当入射波在物体上反射时，反射波将与入射波产生二阶干扰，在物体上产生一个额外的垂向力。